Question

Решите неравенство 16^x-12^x-2*9^x ≤0

Answer 1

4^2x-4^x*3^x-2*3^2x≤0 /3^2x≠0
(4/3)^2x-(4/3)^x-2≤0
(4/3)^x=a
a²-a-2≤0
a1+a2=1 U a1*a2=-2⇒a1=2 u a2=-1
                 +                    _                    +

                         -1                      2
-1≤a≤2⇒-1≤(4/3)^x≤2⇒x≤log(4/3)2⇒x∈(-≈;log(4/3)2]

Answer 2

$\displaystyle \tt (-\infty; \; log_{\frac{4}{3}}2]$

Объяснение:

$\displaystyle \tt 16^x-12^x-2 \cdot 9^x \leq 0 \Leftrightarrow 4^{2\cdot x}-4^x\cdot 3^x-2 \cdot 3^{2\cdot x} \leq 0 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 4^{2\cdot x} - 3^{2\cdot x} - 4^x\cdot 3^x-3^{2\cdot x} \leq 0 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow (4^{x} + 3^{x}) \cdot (4^{x} - 3^{x})-3^{x} \cdot (4^{x}+3^{x}) \leq 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow (4^{x} + 3^{x}) \cdot (4^{x} - 2 \cdot 3^{x}) \leq 0 \Leftrightarrow$

Так как 4ˣ>0 и 3ˣ>0, следовательно 4ˣ+3ˣ>0, то

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow 4^{x} - 2 \cdot 3^{x} \leq 0 \Leftrightarrow 4^{x} \leq 2 \cdot 3^{x} \Leftrightarrow \frac{4^{x}}{3^{x}} \leq 2 \Leftrightarrow \left (\frac{4}{3} \right)^{x} \leq 2, \;\; \frac{4}{3}1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow x \leq log_{\frac{4}{3}} 2 \Leftrightarrow x \in (-\infty; \; log_{\frac{4}{3}} 2].$

Answer 3

$x\in(-\infty;\log_{\frac 4 3}2]$

Объяснение:

16ˣ - 12ˣ - 2·9ˣ ≤ 0 | ÷ 9ˣ, 9ˣ > 0 (при любом x)

$\left(\dfrac{16}{9}\right)^x-\left(\dfrac{12}{9}\right)^x - 2\leq 0$

$\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x}-\left(\dfrac{4}{3}\right)^x - 2\leq 0$

Пусть (4/3)ˣ = t; t > 0

Получаем квадратное неравенство:

t² - t - 2 ≤ 0

(t - 2)(t + 1) ≤ 0

-1 ≤ t ≤ 2, а с учетом того, что t > 0 получаем:

0 < t ≤ 2

"Возвращаемся" к x:

(4/3)ˣ ≤ 2; Так как y = (4/3)ˣ - возрастает, то

$x\leq \log_{\frac 4 3}2$

$x\in(-\infty;\log_{\frac 4 3}2]$