Для решения данного неравенства, нужно использовать метод интервалов. Этот метод основан на поиске значений переменной, при которых выражение становится больше или равно нулю.
Шаг 1: Найдем значения х, при которых каждый из трех множителей становится равен нулю. Это поможет нам найти границы интервалов.
(2х-5) = 0
Приравниваем каждый множитель к нулю и решаем уравнение:
2х - 5 = 0
Добавляем 5 к обеим сторонам:
2х = 5
Делим обе стороны на 2:
х = 5/2 или x = 2.5
(х+7) = 0
х = -7
(х+1) = 0
х = -1
Шаг 2: Разобьем число прямой на интервалы, используя найденные значения переменной.
Шаг 3: Определяем знак выражения (2х-5)(х+7)(х+1) на каждом интервале.
На интервале I: (-∞, -7)
Подставим значение из интервала (например, x = -8) в выражение:
(2*(-8)-5)*(-8+7)*(-8+1) = (-21)*(-1)*(-7) = 147
Выражение положительно на интервале I.
На интервале II: (-7, -1)
Подставим значение из интервала (например, x = -2) в выражение:
(2*(-2)-5)*(-2+7)*(-2+1) = (-9)*(5)*(-1) = 45
Выражение положительно на интервале II.
На интервале III: (-1, 5/2)
Подставим значение из интервала (например, x = 0) в выражение:
(2*(0)-5)*(0+7)*(0+1) = (-5)*(7)*(1) = -35
Выражение отрицательно на интервале III.
На интервале IV: (5/2, +∞)
Подставим значение из интервала (например, x = 3) в выражение:
(2*(3)-5)*(3+7)*(3+1) = (1)*(10)*(4) = 40
Выражение положительно на интервале IV.
Шаг 4: Соберем информацию о знаке выражения и найденные интервалы вместе, чтобы получить окончательное решение задачи.
Из полученных результатов видно, что выражение (2х-5)(х+7)(х+1) больше или равно 0 на интервалах I (-∞, -7), II (-7, -1) и IV (5/2, +∞). Значит, решением этого неравенства является объединение этих интервалов:
Х>=-5
ответ: [-5;+ бесконечность)