2sinx(cosx)=cosx 2sinx(cosx)-cosx=0 cosx(2sinx-1)=0 cosx=0; 2sinx-1=0 x= П\2+пк 2sinx=1 sinx=1\2 х=(-1)^n П\6+пк Выборка корней: 5п\6<п\2+пк<3п 2п\6<пк<5п\2 к=1;2 Следовательно выходят такие корни:3п\2;5п\2 5п\6<5п\6+пк<3п 0<пк<13п\6 к=0;1;2 Следовательно выходят такие корни:5п\6;11п\6;7п\6 Теперь проверим какие входят в этот промежуток: Входят(3п\2;5п\2;11п\6;17п\6)
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
1)если f(-x) = f(x), то f(x) -чётная; если f(-x) = -f(x), то f(x) - нечётная. Переведём на "простой язык": Если вместо "х" в функцию подставим "-х" и при этом функция не изменится, то всё. данная функция - чётная. Если вместо "х" в функцию подставим "-х" и при этом функция только поменяет знак, то всё. данная функция - нечётная. итак, наши примеры: а) эта функция - ни чётная, ни нечётная в)(х-4)(х-2) = х^2 -6x +8. данная функция у = х. Это нечётная функция. с) это чётная функция. d) это ни чётная, ни нечётная функция. е) это нечётная функция ( числитель не помняет знак, а знаменатель поменяет, значит, вся дробь поменяет знак. 2) у = -2х+1 (у = 1 это прямая параллельная оси х. Симметричные точки относительно этой прямой поменяют знак ординаты)
2sinx(cosx)-cosx=0
cosx(2sinx-1)=0
cosx=0; 2sinx-1=0
x= П\2+пк 2sinx=1
sinx=1\2
х=(-1)^n П\6+пк
Выборка корней:
5п\6<п\2+пк<3п
2п\6<пк<5п\2
к=1;2 Следовательно выходят такие корни:3п\2;5п\2
5п\6<5п\6+пк<3п
0<пк<13п\6
к=0;1;2 Следовательно выходят такие корни:5п\6;11п\6;7п\6
Теперь проверим какие входят в этот промежуток:
Входят(3п\2;5п\2;11п\6;17п\6)