(х - 5)·√(5х - 4 - х²) = 0
ОДЗ: 5х - 4 - х² ≥ 0
найдём корни уравнения
- х² + 5х - 4 = 0
D = 25 - 16 = 9
√D = 3
x₁ = (-5 - 3):(-2) = 4
x₂ = (-5 + 3):(-2) = 1
График функции 5х - 4 - х² квадратная парабола веточками вниз, и выше оси х находится в интервале между 1 и 4, поэтому неравенство 5х - 4 - х² ≥ 0 верно, при х∈[1;4]
Итак ОДЗ: х∈[1;4]
Теперь будем решать уравнения
(х - 5)²·(5х - 4 - х²) = 0
Используем корни уравнения - х² + 5х - 4 = 0 и представим
- х² + 5х - 4 = (-1)(х -1)(х - 4)
(х - 5)²·(-1)(х -1)(х - 4) = 0
Корни этого уравнения х₁ = 4, х₂ = 1, х₃ = 5
Корень х₃ = 5 не подходит т.к. х = 5∉ОДЗ
Среднее арифметическое корней: (1 + 4):2 = 2,5
Курсив можно не читать.
Аналитических методов решения нет. Такие уравнения можно решить только численно.
По основной теореме алгебры у многочлена 5 степени ровно 5 корней, впрочем, среди них могут быть совпадающие (как например, в уравнении (x-1)^5=0; у этого уравнения 5 корней х=1;:. Поскольку доказательство этой теоремы - далеко за пределами школьной программы, просто примите на веру. В данном случае у уравнения 5 степени с вещественными коэффициентами есть 1 вещественный корень и 2 ПАРЫ комплексно сопряженных кореней (то есть вещественная часть у них одинаковая, а мнимая различается знаком).
Вот численное решение уравнения x^5 +2*x - 1 = 0; - все 5 корней.
0,486389035934543;
-0,945068086823133-0,854517514439046*i;
-0,945068086823133+0,854517514439046*i;
0,701873568855862-0,879697197929824*i;
0,701873568855862+0,879697197929824*i;
Даже если вы не знакомы с комплексными числами, вещественный корень можно проверить на обычном калькуляторе :)), а Excel даст чистый 0 - точность этого решения выше встроенной точности электронной таблицы. Если вы знакомы с комплексными числами, в Excel легко можно проверить все корни.
Дальше можно совсем не читать.
Eсли записать для краткости это так
x1;
x2 = a+b*i;
x3 = a-b*i;
x4 = c+d*i;
x5 = c-d*i;
Здесь обозначено
a=-0,945068086823133;
b=-0,854517514439046;
c=0,701873568855862;
d=0,879697197929824;
то исходный многочлен может быть разложен следующим образом
x^5+2*x-1 = (x-x1)*(x^2-2*a*x+a^2+b^2)*(x^2-2*c*x+c^2+d^2);
равенство 0 означает, что уравнение распадается на 3 независимых, так получаются 5 корней. При этом квадратные трехчлены не имеют вещественных корней - очевидно (это суммы двух квадратов, то есть положительные величины при любом вещественном х, если b и d не равны нулю, а они не равны 0). Можете проверить численно справедливость такого разложения, подставив значения корней : - это не требует знания комплексных чисел. То есть надо подставить числа, перемножить все выражения в скобках, привести подобные и показать, что с высокой точностью получается исходный многочлен 5 порядка. (Это не так трудно сделать в Excel, как кажется - маленькая табличка, 5 строк и 3-5 столбцов.) Всего есть 6 коэффициентов в многочлене 5 степени, причем коэффициент при x^5 очевидно равен 1, а свободный член равен (конечно, с минусом)
x1*(a^2+b^2)*(c^2+d^2) = 0,486389035934543*1,62335387121462*1,26649366670405 = 1 опять с точностью выше возможностей Excel (то есть таблица уверенно покажет целое число). Остается проделать полное перемножение многочленов в форме буквенной записи и так же проверить остальные коэффициенты. Они будут равны 0; 0; 0; 2; с очень высокой точностью.
2,5x=2(x+1)
2,5x=2x+2
2,5x-2x=2
0,5x=2
X=4