Мне, , с подробным решением этих троих . я позабывал все стандарты за целый год. вот с этими 3-мя примерами, как бы мне не было стыдно признавать, нужна : 1.) sqrt(x-1)< 7-x 2.) sqrt(x+2)> x 3.) sqrt(x²-3x-10)> sqrt(x-2) sqrt() - √
1) √(x-1)<7-x √(x-1)>=0 => x>=1 т.к. √(x-1)>=0 => (7-x)>0 <=> x<7 x∈[1;7) теперь возведем в квадрат оба выражения x-1<(7-x)^2 x-1<49-14x+x^2 x^2-15x+50>0 найдем значения х, при которых (x^2-15x+50)=0: D=15^2-4*1*50=25=5^2 x1=(15+5)/2=10 x2=(15-5)/2=5 теперь решим методом координат: отмечаем на координате точки 5 и 10 (см.рисунок), далее расставляем "+" или "-", где "+" значит, что (x^2-15x+50)>0, a "-" что (x^2-15x+50)<0 тогда ответ - все значения, в которых х будет под знаком "+", до одз - от 1 до 7 ответ: x∈[1;5)
Домножим неравенство на 3^(|x|) (это можно делать, так как 3^(|x|)>0): 2^(4x^2+|x|)≤3^|x|. Прологарифмируем это неравенство по основанию 2>1; смысл неравенства при этом сохранится: 4x^2+|x|≤|x|log_2 3 (справа я вынес за знак логарифма показатель степени). 4|x|^2+|x|-|x|log_2 3≤0; |x|(4|x|+1-log_2 3)≤0
1. x=0⇒неравенство принимает вид 0≤0 - верно⇒x=0 входит в ответ. 2. x≠0⇒|x|>0⇒на него можно неравенство сократить:
4|x|≤log_2 3 -1; |x|≤(log_2 3 - 1)/4; x∈[-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)]. Поскольку x=0 входит в этот промежуток, это и будет ответ
ответ: [-(log_2 3 -1)/4; (log_2 3-1)].
Замечание. При желании ответ можно записать в виде [-(log_2 (3/2))/4;(log_2 (3/2))/4]
Прологарифмируем неравенство по основанию 2; смысл неравенства при этом сохранится (поскольку 2>1⇒ логарифмическая функция возрастает, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента). Воспользуемся сразу свойствами логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов, при логарифмировании степени показатель выносится перед знаком логарифма (конечно, так можно делать, если все выражения имеют смысл):
(суть метода интервалов: наносим на числовой прямой нули числителя и знаменателя и выбираем нужные промежутки, например, как чаще всего заставляют делать в школе, подставляя в неравенство по одному числу из каждого промежетка (но надо сказать, что это самый дебильный из возможных
√(x-1)>=0 => x>=1
т.к. √(x-1)>=0 => (7-x)>0 <=> x<7
x∈[1;7)
теперь возведем в квадрат оба выражения
x-1<(7-x)^2
x-1<49-14x+x^2
x^2-15x+50>0
найдем значения х, при которых (x^2-15x+50)=0:
D=15^2-4*1*50=25=5^2
x1=(15+5)/2=10
x2=(15-5)/2=5
теперь решим методом координат:
отмечаем на координате точки 5 и 10 (см.рисунок), далее расставляем "+" или "-", где "+" значит, что (x^2-15x+50)>0, a "-" что (x^2-15x+50)<0
тогда ответ - все значения, в которых х будет под знаком "+", до одз - от 1 до 7
ответ: x∈[1;5)