Question

Определите первый член и знаменатель прогрессии 1) b4=54, b8=4374 2)b4=1 3/4, b9=-7/128

Answer 1

$\displaystyle 1. ~ b_1 = 2, ~ q =3; ~b_1 = -2, ~q = -3 \\ \\ 2. ~ b_1 = -14, ~q = -\frac 1 2$

Объяснение:

Воспользуемся формулой нахождения n-ого члена геометрической прогрессии:

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, b₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии

$\displaystyle 1. ~~ b_4 = 54, ~b_8 = 4374 \\ \\ b_4 = b_1 \cdot q^3 \\ \\ b_8 = b_1 \cdot q^7 \\ \\ \\ \frac{b_8}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^7}{b_1 \cdot q^3} = q^{7-3} = q^4 \\ \\ \\ q^4 = \frac{b_8}{b_4} = \frac{4374}{54} = 81 \\ \\ q = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3 \\ \\ b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow b_1 = \frac{b_4}{q^3} \\ \\ \begin{array}{lcl} b_1 = \frac{54}{3^3} = \frac{54}{27} = 2; & b_1 = \frac{54}{(-3)^3}=\frac{54}{-27} = -2\end{array}$

ответ: b₁ = 2, q = 3; b₁ = -2, q = -3

$\displaystyle b_4 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}, ~ b_9 = -\frac{7}{128} \\ \\ b_4 = b_1 \cdot q^3 \\ \\ b_9 = b_1 \cdot q^8 \\ \\ \frac{b_9}{b_4} = \frac{ b_1 \cdot q^8 }{b_1 \cdot q^3 } = q^{8-3} = q^5 \\ \\ q^5 = \frac{b_9}{b_4} = -\frac{7}{128} \div \frac{7}{4} = -\frac{7}{128} \cdot \frac 4 7 = - \frac{1}{32} \\ \\ \\ q = \sqrt[5]{-\frac {1} {32}} = -\frac 1 2 \\ \\ b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

$\displaystyle b_1 = \frac{7}{4} \div \left (-\frac 1 2\right)^3 = \frac 7 4 \div \left ( -\frac 1 8\right ) = - \frac 7 4 \cdot 8= -14$

ответ: b₁ = -14, q = -1/2