Question

оказать в решении уравнения: 2sin^2 x-9sin x cos x+7cos^2 x=0

Answer 1

Данный тип уравнения решается с деления на cos²x:
2tg²x-9tgx+7=0
Замена : tgx=t
2t²-9t+7=0
Д=81-4*2*7=81-56=25=5²
t1/2=(9+-5)/4
t1=(9+5)/4=14/4=7/2
t2=(9-5)/4=4/4=1
Вернемся к замене:
tgx=7/2
x=arctg7/2+Пn
tgx=1
x=П/4+Пn

Answer 2

$2sin^2x-9sinx*cosx+7cos^2x=0|:cos^2x$

Разделим на cos²x  и получаем

$\frac{2sin^2x}{cos^2x} - \frac{9sinx*cosx}{cos^2x} + \frac{7cos^2x}{cos^2x} =0$

сокращаем 

$\frac{2sin^2x}{cos^2x} - \frac{9sinx}{cosx} +7=0$

Как видно что sinx/cosx  = tgx

$2tgx^2x-9tgx+7=0$

Пусть tgx = t ( t ∈ R), тогда имеем:

$2t^2-9t+7=0$

Решаем через дискриминант

$a=2;b=-9;c=7 \\ D=b^2-4ac=(-9)^2-4*2*7=81-56=25 \\ \sqrt{D} =5 \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{9+5}{4} = \frac{14}{4} =3.5 \\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{9-5}{4} = \frac{4}{4} =1$

Обратная замена

$tgx=3.5 \\ x_1=arctg3.5+ \pi n$

$tgx=1 \\ x_2=arctg1+ \pi n \\ x_2= \frac{ \pi }{4} + \pi n$

π/4 - это arctg 1.

ответ: arctg3.5+πn, π/4+πn.