Question

Прості числа p q r такі що р+q+pq ділиться на r р+r+pr ділиться на q q+r+rq ділиться на р доведіть що p=q=r

Answer 1

$p,q ; r \in P \\ \frac{p+q+pq}{r}=x\\ \frac{p+r+rp}{q}=y\\ \frac{q+r+rq}{p}=z\\\\$    
 Сложим     
 $\frac{p^2(q^2+r^2+q+r)+p(q^2+r^2)+qr(qr+q+r)}{pqr}\\ \frac{ p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr}$ 
  Заметим что 
 $\frac{qr(qr+q+r)}{pqr}$ делиться 
 $\frac{p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr} \\ \frac{p^2(q+r)^2-2p^2qr+p^2(q+r)p+p(q+r)^2-2pqr}{pqr}=x+y\\\\ \frac{p^2(q+r)^2+p^2(q+r)+p(q+r)^2}{pqr}-2p-2=x+y\\ \frac{(q+r)(pr+r+pq+q+p )}{qr}=A\\\\ A \in N \\ \\$ 
 заметим что 
 $q+r \geq \sqrt{2qr}$ неравенство выполняется , тогда когда         $q=r$ 
   $pr+r+pq+q+p =(p+1)(r+q)+p\\ \frac{2rq(p+1)p}{rq}=2p(p+1)$ 
  Откуда     $p=q=r$