Question

Докажите, что 10^(3n+1) нельзя представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел

Answer 1

Положим что числа $a,b$ представимы в виде кубов
$a^3+b^3=10^{3n+1}$ 
Так как  остаток слева    при делений на $3$ равен    $1$ 
А куб    сравним с $3$ , с $1;2;0$ . 
Тогда   $a^3+b^3$ сравним с $1+0=1\\ 1+2=3\\ 2+0=2\\$   Остатки один  равны тогда , когда   
 $a=3x+1\\ b=3x+3$  
 $(3x+1)^3+(3x+3)^3=10^{3n+1}\\ (6x+4)( 9x^2+12x+7)=10^{3n+1}\\$ 
не один из слагаемых не кратен $5$ ,   значит не делиться на 5  , но     справа делится  , ч.т.д
  
 
 

   
 
  
 
 

Answer 2

Добрый день!

Чтобы доказать, что число 10^(3n+1) не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел, воспользуемся методом непрерывных дробей.

Предположим, что имеется такая сумма кубов двух натуральных чисел, то есть 10^(3n+1) = a^3 + b^3, где a и b - натуральные числа.

Возведем это равенство в куб (а^3 + b^3)^3.

По формуле суммы кубов:
(a^3 + b^3)^3 = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9

Заметим, что все члены в этой сумме кубов имеют вид x^9, где x - некоторое целое число.

Теперь выпишем сумму кубов по модулю 9:
(a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9)

Поскольку a и b - натуральные числа, то a^3 и b^3 будут иметь вид 0, 1 или -1 по модулю 9. Заметим также, что все термы, содержащиеся в сумме кубов, делятся на 9.

Теперь рассмотрим квадратичные вычеты по модулю 9:
0^2 ≡ 0 (mod 9)
1^2 ≡ 1 (mod 9)
2^2 ≡ 4 (mod 9)
3^2 ≡ 0 (mod 9)
4^2 ≡ 7 (mod 9)
5^2 ≡ 7 (mod 9)
6^2 ≡ 0 (mod 9)
7^2 ≡ 4 (mod 9)
8^2 ≡ 1 (mod 9)

Заметим, что среди квадратичных вычетов по модулю 9 нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. То есть, для чисел, являющихся кубом, среди них нет чисел, квадрат которых дает такие остатки.

Вернемся к равенству (a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9). Заметим, что термы 3a^6b^3 и 3a^3b^6 (кратные 9) можно проигнорировать, так как они не влияют на равенство по модулю 9.

Теперь у нас остается равенство a^9 + b^9 ≡ (a^3 + b^3)^3 (mod 9).

Если предположить, что число 10^(3n+1) можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел, то данное равенство означает, что числа a^9 и b^9 делятся на 9.

Однако, мы знаем, что среди кубов нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. Это означает, что ни a^9, ни b^9 не делятся на 9. Таким образом, мы приходим к противоречию.

Таким образом, мы доказали, что число 10^(3n+1) не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Спасибо за вопрос и удачи в учебе!