Question

1) укажите наименьший корень уравнения 2 log²₄ x - log₄ x¹³ = 7 2)найдите сумму корней уравнения lg (x-9) = 1 - lg x 3)найдите произведение корней уравнения √(5x -x²)ln(x-1)=0

Answer 1

$2log_4^2(x)-log_4(x^1^3)=7$
ОДЗ
$x0$
Воспользуемся свойством логарифмов
$2log_4^2(x)-13log_4(x)=7$
Пусть $log_4(x)=a,$ тогда имеем
$2a^2-13a=7 \\ 2a^2-13a-7=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-13)^2-4*2*(-7)=225; \sqrt{D} =15$
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения
$a_1_,_2= \frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} \\ \\ a_1= \frac{13-15}{2*2} =- \frac{1}{2} ;a_2= \frac{13+15}{2*2} =7$
Обратная замена
$log_4(x)=- \frac{1}{2} \\ log_4(x)+ \frac{1}{2} =0 \\ log_4(x)+log_4(4^ \frac{1}{2})=log_4(1) \\ log_4(4^ \frac{1}{2} x)=log_4(1) \\ 2x=1 \\ x= \frac{1}{2} \\ log_4(x)=log_4(4^7) \\ x=4^7 \\ x=16384$
Наименьший 1/2

ответ: $x= \frac{1}{2}$

$lg(x-9)=1-lg(x)$
ОДЗ:$\left \{ {{x0} \atop {x-90}} \right. \to x9$
Воспользуемся свойством логарифмов
$lg(x-9)+lg(x)=lg(10) \\ lg((x-9)x)=lg(10) \\ x(x-9)=10 \\ x^2-9x-10=0 \\ D=b^2-4ac=121 \\ x_1=-1;x_2=10$
КОрень x= -1 не удовлетворяет ОДЗ

ответ: $x=10$

$\sqrt{5x-x^2} ln(x-1)=0$
ОДЗ
$\left \{ {{x-10} \atop {5x-x^20}} \right.$
Решаем произведение выражений
$\sqrt{5x-x^2} =0 \\ x(5-x)=0 \\ x_1=0;x_2=5$
КОрень х = 0 - не удовлетворяет ОДЗ
$ln(x-1)=0 \\ ln(x-1)=ln(1) \\ x-1=1 \\ x=2$

По условию произведение корней
$x_1*x_2=5*2=10$

ответ: $x_1*x_2=10$

Answer 2

1)2(log(4)x)²-log(4)x^13=7
2(log(4)x)²-13log(4)x-7=0    ОДЗ x>0
log(4)x=a
2a²-13a-7=0
D=169+56=225        √D=15
a1=(13-15)/4=-1/2⇒log(4)x=-1/2⇒x=1/2-наим
a2=(13+15)/4=7⇒log(4)x=7⇒x=16384
2)lg(x-9)=1-lgx
ОДЗ x>9 U x>0⇒x∈(9;∞)
lg(x-9)+lgx=1
lgx(x-9)=1
x²-9x=10
x²-9x-10=0
x1+x2=9 U x1*x2=-10
x1=-1∉(9;∞)
x2=10
3)√(5x-x²)*ln(x-1)=0
ОДЗ 5x-x²≥0⇒x(5-x)≥0
x=0  x=5
       _            +                _

              0            5
0≤x≤5 U x>1⇒x∈(1;5]
5x-x²=0 или ln(x-1)=0
x=0∉(1;5]
x=5
x-1=1⇒x=2
5*2=10
Произведение корней равно 10