Question

Решите уравнения: а) x^3 + 2x^2 - 5x -6 = 0 б) x^3 - 6x -9 = 0 в) x^4 - 4x^3 +12x - 9 = 0 c объяснением

Answer 1

A) $x^3 + 2x^2 - 5x -6 = 0$ Подбором найдем первый корень уравнения. Просто подставляем числа 0, 1, -1, 2, -2 и т.д. и проверяем равенство. Но как правило слишком долго подбирать не приходится. Первый корень х=2
$2^3+2*2^2-5*2-6=8+8-10-6=0$. В первой скобке получается (х-2), определим что получается во второй. Чтобы получился х³, нужно скобку$(x-2)*x^2=x^3-2x^2$, У нас в примере +2х², значит к х² прибавляем 4х получается $(x-2)(x^2+4x)=x^3-2x^2+4x^2-8x$. Далее должно остаться -5х, следовательно прибавляем 3 $(x-2)(x^2+4x+3)=x^3-2x^2+4x^2-8x+3x-6$ = $x^3+2x^2-5x-6$
Решаем полученное уравнение
$(x-2)(x^2+4x+3)=0$
х-2=0 $x_{1}=2$ и $x^2+4x+3=0$
$D=4^2-3*4*1=16-12=4$
$x_{2}= \frac{-4-2}{2}=-3$
$x_{3}= \frac{-4+2}{2}=-1$
ответ: 3 корня х=2, х=-3 и х=-1
б) $x^3 - 6x -9 = 0$ Решаем таким же методом, как и предыдущее уравнение. Подбором определяем один из корней, это х=3 проверяем $3^3-6*3-9=27-18-9=0$
Получаем произведение $(x-3)(x^2+3x+3)=0$
x-3=0 ; $x_{1}=3$ ; $x^2+3x+3=0$ ; $D=3^2-3*4=9-12=-3$ D<0 действительных корней нет. Если по заданию надо найти действительные корни, то ответ: х=3 - один корень. Если такого условия нет, то к нему добавятся два комплексных корня и получится ответ: х=3,
$x_{2}= \frac{-3+i \sqrt{|3|} }{2}$ ; $x_{3}= \frac{-3-i \sqrt{|3|} }{2}$
в) $x^4 - 4x^3 +12x - 9 = 0$ Разложим на множители
$(x^4-9) - 4x(x^2 -3) = 0$
$(x^2-3)(x^2+3) - 4x(x^2 -3) = 0$
$(x^2-3)(x^2+3 - 4x) = 0$
$x^2-3= 0$$x_{1}= \sqrt{3}$ ; $x_{2}= -\sqrt{3}$ и $x^2-4x+3=0$ ; $D=4^2-3*4*1=16-12=4$
$x_{3}= \frac{4-2}{2}=1$ ; $x_{3}= \frac{4+2}{2}=3$
ответ: 4 корня х=3, х=1, $x= \sqrt{3}$ и $x=- \sqrt{3}$