Question

Прям ! представьте в виде дроби выражение ответ по идее (так написано в приложении) нужно решать методом покоэффициентного равенства многочленов (поочередное сложение нескольких слагаемых), но мне все равно, главное что бы было решение и ответ, который сходится! !

Answer 1

$\frac{1}{(x-1)x} = \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{x} = \frac{Ax+Bx-B}{(x-1)x} = \frac{(A+B)x-B}{(x-1)x}, \\ \left \{ {{A+B=0,} \atop {-B=1;}} \right. \left \{ {{A=1,} \atop {B=-1;}} \right. \\ \frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1}- \frac{1}{x}; \\ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x}+ \frac{B}{x+1} = \frac{Ax+A+Bx}{x(x+1)} = \frac{(A+B)x+A}{x(x+1)}, \\ \left \{ {{A+B=0,} \atop {A=1;}} \right. \left \{ {{A=1,} \atop {B=-1;}} \righ \\ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}- \frac{1}{x+1};$
$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x+2} = \frac{Ax+2A+Bx+B}{(x+1)(x+2)} = \frac{(A+B)x+2A+B}{(x-1)x}, \\ \left \{ {{A+B=0,} \atop {2A+B=1;}} \right. \left \{ {{A=1,} \atop {B=-1;}} \right. \\ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}; \\ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2}+ \frac{B}{x+3} = \frac{Ax+3A+Bx+2B}{(x+2)(x+3)} = \frac{(A+B)x+3A+2B}{(x-1)x}, \\ \left \{ {{A+B=0,} \atop {3A+2B=1;}} \right. \left \{ {{A=1,} \atop {B=-1;}} \right.$
$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2}- \frac{1}{x+3}; \\ \frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \\ + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} = \frac{x-3-x+1}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{(x-1)(x+3)}.$