Question

(1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0 отобрать корни (-3; 2)

Answer 1

$(1+tg^2x)\sin x-tg^2x+1=0~~~|\cdot \cos^2x\ne 0\\ \\ (\cos^2x+\sin^2x)\sin x-\sin^2x+\cos^2x=0\\ \\ \sin x-\sin^2x+1-\sin^2x=0\\ \\ -2\sin^2x+\sin x+1=0\\ \\ 2\sin^2x-\sin x-1=0$

Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно sin x

$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\\ \\ \sin x= \dfrac{1+3}{2\cdot2}=1 ;~~~~\Rightarrow~~~~ x_1= \dfrac{\pi}{2}+ 2\pi k,k \in \mathbb{Z} \\ \\ \sin x= \dfrac{1-3}{2\cdot2}=-0.5;~~~\Rightarrow~~~~ x_2=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{6}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}$

Осталось отобрать корни из (-3;2) и при $\pi \approx3.14$

Для корня $x=\dfrac{\pi}{2}+ 2\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Если $k=0$, то $x= \dfrac{\pi}{2}= 1.57\in (-3;2).$

Для корня $x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{6}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}$

Если $k=0$, то $x=-\dfrac{\pi}{6}\approx-0.5\in(-3;2).$

Если $k=-1$, то $x=\dfrac{\pi}{6}- \pi =-\dfrac{5\pi}{6}\approx-2.6\in(-3;2).$