С трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 2, а одно обязательно делится на 3, поэтому произведение обязательно делится на 2*3=6 (2 и 3 - взаимно простые числа)
Значит нам осталось показать, что число a^2(a-1)(a+1)(a^2+1) делится на 5. Если ни одно из чисел а, а-1, а+1 не делится на 5, то число а имеет вид 5b+2 или 5b+3, где b - некоторое целое число
(пояснение число а может иметь вид 5b, 5b+1, 5b+2, 5b+3, 5b+4 так как при делении на 5 возможные остатки 0,1,2,3,4 при первых трех вариантах одно из чисел делится на 5: а=5b, a+1=(5b+4)+1=5b+5=5(b+1), a-1=(5b+1)-1=5b)
Если a=5b+2, то a^2+1=(5b+2)^2+1=25b^2+20b+4+1=25b^2+20b+5=5(5b^2+10b+1) а значит делится на 5,
Если a=5b+3, то a^2+1=(5b+3)^2+1=25b^2+20b+9+1=25b^2+20b+10=5(5b^2+10b+2), а значит делится на5.
Пусть у Володи было х яблок, тогда у Пети: kx, k - целое число. У Коли было: k*(kx) = x*k^2 Петя отдал 2 яблока Володе, у него осталось: kx - 2 Коля отдал 2 яблока Володе, у него осталось: (xk^2) - 2 У Володи стало: x + 4 Получилась арифметическая прогрессия: kx - 2, x + 4, xk^2 - 2. Если это так, то по свойству арифметической прогрессии разность между следующим и предыдущим членом одинакова, а именно: (x + 4) - (kx - 2) = (xk^2 - 2) - (x + 4) x + 4 - kx + 2 = xk^2 - 2 - x - 4 xk^2 - x - 6 - x - 6 + kx = 0 x*(k^2 + k - 2) = 12 x = 12/(k^2 + k - 2) - целое число 12 делится нацело на: 2, 3, 4, 6, 12 Перебираем возможные варианты k: k^2 + k - 2 ≠ 0, k ≠ 1, k ≠ -2 k^2 + k - 2 = 2, k^2 + k - 4 = 0, D = 1 + 16 = 17 - нет целого квадратного корня, значит нет целых корней. k^2 + k - 2 = 3, k^2 + k - 5 = 0, D = 1 + 20 = 21 - нет целого квадратного корня, значит нет целых корней. k^2 + k - 2 = 4, k^2 + k - 6 = 0, D = 1 + 24 = 25 k1 = (-1 - 5)/2 = -3 < 0, k2 = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2 k^2 + k - 2 = 6, k^2 + k - 8 = 0, D = 1 + 32 = 33 - нет целого квадратного корня, значит нет целых корней. k^2 + k - 2 = 12, k^2 + k - 14 = 0, D = 1 + 56 = 57 - нет целого квадратного корня, значит нет целых корней. Выяснили, что k=2 Значит x = 12/(4 + 2 - 2) = 3 У Володи было 3 яблока, у Пети в 2 раза больше, чем у Володи - 6 яблок, у Коли в 2 раза больше, чем у Пети - 12 яблок. Всего: 3 + 6 + 12 = 21 яблоко
Х яблок у Володи ух яблок у Пети у²х яблок у Коли После раздачи стало: х+4 яблок у Володи ух-2 яблок у Пети у²х-2 яблок у Коли Эти числа и составляют арифметическую прогрессию: 1) если (ух-2) среднее число в арифметической прогрессии х+4+у²х-2=2(ух-2) (сумма наибольшего и наименьшего равна удвоенному среднему) у²х-2ух+х=-6 х(у²-2у+1)=-6, что невозможно 2) если (у²х-2) среднее число в арифметической прогрессии х+4+ух-2=2(у²х-2) 2у²х-ух-х=6 х(2у²-у-1)=6 2у²-у-1=6, но в этом случае нет целых корней 3) если (х+4) – среднее число в арифметической прогрессии ух-2+у²х-2=2(х+4) у²х+ух-2х=12 х(у²+у-2)=12 Т.к. у≥2, то у²+у-2≥4 (и является делителем числа 12) Пусть у=2, тогда х=3, а значит число яблок 3, 6 и 12 Либо у²+у-2=6 или у²+у-2=12, но в этом случае нет целых корней Следовательно у Володи 3 яблока, у Пети – 6 яблок, у Коли – 12 яблок. Всего 3+6+12=21 яблоко ответ: 21
a^6-a^2=a^2(a^4-1)=a^2(a^2-1)(a^2+1)=a^2(a-1)(a+1)(a^2+1)
С трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 2, а одно обязательно делится на 3, поэтому произведение обязательно делится на 2*3=6 (2 и 3 - взаимно простые числа)
Значит нам осталось показать, что число a^2(a-1)(a+1)(a^2+1) делится на 5. Если ни одно из чисел а, а-1, а+1 не делится на 5, то число а имеет вид 5b+2 или 5b+3, где b - некоторое целое число
(пояснение число а может иметь вид 5b, 5b+1, 5b+2, 5b+3, 5b+4 так как при делении на 5 возможные остатки 0,1,2,3,4 при первых трех вариантах одно из чисел делится на 5: а=5b, a+1=(5b+4)+1=5b+5=5(b+1), a-1=(5b+1)-1=5b)
Если a=5b+2, то a^2+1=(5b+2)^2+1=25b^2+20b+4+1=25b^2+20b+5=5(5b^2+10b+1) а значит делится на 5,
Если a=5b+3, то a^2+1=(5b+3)^2+1=25b^2+20b+9+1=25b^2+20b+10=5(5b^2+10b+2), а значит делится на5.
Таким образом утверждение верно. Доказано