Question

Остатки от деления многочлена p(x) на x-1 и x+1 равны соответственно 1 и -7. найти остаток от деления этого многочлена на x^2-1

Answer 1

Пусть $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b$

1) $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b=(x-1)((x+1)Q(x))+a(x-1)+(a+b)=(x-1)((x+1)Q(x)+a)+(a+b)$ Тогда, по теореме Безу, $a+b=P(1)=1$ → $a=1-b$

2) $P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b=(x+1)((x-1)Q(x))+a(x+1)+(-a+b)=(x+1)((x-1)Q(x)+a)+(-a+b)$ Тогда, по теореме Безу, $-a+b=P(-1)=-7$ → $-(1-b)+b=-7$ → $-1+2b=-7$ → $b=-3$ → $a=1-(-3)=4$

3) Тогда $P(x)=(x^2-1)Q(x)+4x-3$ → Остаток от деления $P(x)$ на $x^2-1$ равен $4x-3$

ОТВЕТ: 4x-3

Answer 2

Запишем согласно теореме Безу:

P(x)= (x-1)*g(x)  +1

P(x)=(x+1)*f(x)-7

p(x)*(x+1)=(x^2-1)*g(x) +(x+1)

p(x)*(x-1)=(x^2-1)*f(x)-7*(x-1)

Вычитаем оба равенства:

2*p(x)=(x^2-1)*(g(x)-f(x))  +8x-6

p(x)=(x^2-1)*( (g(x)-f(x))/2 )   +4x-3                                                                             (4x-3  не делится на x^2-1  тк его  степень ниже)

ответ: остаток   4x-3