Question

Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" : ) дана последовательность натуральных чисел , причем , x1 не делится на 5, а для всех остальных членов существует формула где - последняя цифра числа . доказать, что среди членов последовательности бесконечно много степеней двойки.

Answer 1

По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8

Так как ..2+2=...4;

...4+4=..8

..6+6=...2

...8+8...=6

то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.

Поэтому для любого n>1 $a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20$

а для любого t>1 $a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t$

Любое число $a_n, n2$ получается имеет вид

$a_n=10m+2$либо $a_n=10m+4$ либо $a_n=10m+6$либо $a_n=10m+8$ где m -некоторое неотрицательное целое число

С двух членов последовательности $a_n=10m+2$ и  $a_{n+1}=10m+4$ хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде

a_n=4l

Тогда $a_{n+4t}=4(l+5t)$

Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l