Question

Объясните, как решить: // - имеется в виду, что данное выражение стоит под знаком модуля. главное, как работать с модулем? p.s. в ответе должно получиться 2 - log пяти по основанию четырех < x \leq 1

Answer 1

$4^x( \sqrt{16^{1-x}-1}+2)=4|4^x-1|$
Отметим ОДЗ:$16^{1-x}-1 \geq 0 \\ x \leq 1$
Воспользуемся свойством степеней
$4^x( \sqrt{4^{2(1-x)}-1}+2)=4|4^x-1|$
Произведем замену переменных
 Пусть $4^x=a \,\,\,(a0)$, тогда получаем

$a((16a^{-2}-1)^{ \frac{1}{2} }+2)=4|a-1|$
Воспользуемся определением абсолютной величины $\left \{ {{a0\Rightarrow |a|=a} \atop {a$
Если $a-1 \geq 0$, то
$a((16a^{-2}-1)^{ \frac{1}{2} }+2)=4(a-1) \\ \sqrt{a^2(16a^{-2}-1)}=2a-4$
Возведем оба части до квадрата
$a^2(16 \frac{1}{a^2}-1 )=(2a-4)^2 \\ 16-a^2=4a^2-16a+16 \\ 5a^2-16a=0 \\ a(5a-16)=0 \\ a_1=0\,\,\,\,\, a_2= \frac{16}{5}$
а=0 - не удовлетворяет условию при a-1>0
Возвращаемся к замене
$4^x= \frac{16}{5} \\ x=\log_4 \frac{16}{5} =2-\log_4 5$

При a-1<0, уравнение корней не имеет.

Полученное решение отметим на промежутке

___+___(2-\log_4 5)____-___[1]

ответ: $x \in (2-\log_4 5;1].$