Question

Много ! нужно найти область сходимости степенного ряда,

Answer 1

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }\frac{2^{n}\, (x+1)^{n}}{n^2}\\\\\lim\limkits _{n \to \infty}\Big |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \Big |=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2^{n+1}\cdot |x+1|^{n+1}}{(n+1)^2}:\frac{2^{n}\, |x+1|^{n}}{n^2}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2^{n}\cdot 2\cdot |x+1|^{n}\cdot |x+1|}{(n+1)^2}\cdot \frac{n^2}{2^{n}\cdot |x+1|^{n}}= \lim_{n \to \infty}\, 2|x+1|=2\, |x+1|$

$x=-\frac{1}{2}\, :\; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}\cdot \frac{1}{2^{n}}}{n^2}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\; \; -\; \; sxoditsya\\\\x=-\frac{3}{2}\, :\; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^2}\; \; -\; \; sxoditsya\; \; absolutno\\\\Oblast\; \; sxodimosti\, :\; \; x\in [-\frac{3}{2}\, ,\, -\frac{1}{2}\, ]\; .$