Question

2sin3xsinx + (3 корня из 2 - 1)cos2x = 3 объясните, , подробно, что делать с "2sin3xsinx" и косинусом!

Answer 1

$sinx\bullet siny=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)),$

$2sin3xsinx+(3\sqrt{2}-1)cos2x=3,\\2\bullet\frac{1}{2}(cos(3x-x)-cos(3x+x))+(3\sqrt{2}-1)cos2x=3,\\cos2x-cos4x+(3\sqrt{2}-1)cos2x=3,\\cos2x(1+3\sqrt{2}-1)-cos4x=3,\\3\sqrt{2}cos2x-cos4x=3(cos^22x+sin^22x),\\3\sqrt{2}cos2x-(cos^22x-sin^22x)-3cos^22x-3sin^22x=0,\\3\sqrt{2}cos2x-4cos^22x-2sin^22x=0,\\3\sqrt{2}cos2x-4cos^22x-2(1-cos^22x)=0,\\3\sqrt{2}cos2x-2cos^22x-2=0,\ |\bullet(-1)\\2cos^22x-3\sqrt{2}cos2x+2=0,$

Пусть $2x=t$, тогда: $2cos^2t-3\sqrt{2}cost+2=0$
И пусть  $z=cost, -1$

$2z^2-3\sqrt{2}z+2=0,\\D=(-3\sqrt{2})^2-4\bullet2\bullet2=18-16=2,\\\\z_1=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
— удовлетворяет условию $(*)$

$z_2=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2},$ — не удовлетворяет условию $(*)$,

$cost=\frac{\sqrt{2}}{2},\\t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z,\\\\2x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in Z,\\x=\frac{\pi}{8}+\pi k,\ k\in Z.$

ответ: $x=\frac{\pi}{8}+\pi k,\ k\in Z.$