z=ln(x+e^(-y))
dz/dx=1/(x+e^(-y))*(x+e^(-y))'=1/(x+e^(-y))
d2z/dx2=((x+e^(-y))^(-1))'=-(x+e^(-y))^(-2)*(x+e^(-y))'=-1/(x+e^(-y))^2
d3z/dx2dy=(-(x+e^(-y))^(-2))'=-(-2(x+e^(-y)))^(-3)*(x+e^(-y))'=2(x+e^(-y))^(-3)*(-e^(-y))=-2e^(-y)/(x+e^(-y))^3
dz/dy=1/(x+e^(-y))*(x+e^(-y))'=1/(x+e^(-y))*(-e^(-y))=-e^(-y)/(x+e^(-y))
d2z/dydx=(-e^(-y)*(x+e^(-y))^(-1))'=-e^(-y)*((x+e^(-y))^(-1))'=
-e^(-y)*(-((x+e^(-y))^(-2)))*(x+e^(-y))'=e^(-y)/(x+e^(-y))^2
d3z/dydx2=(e^(-y)/(x+e^(-y))^2)'=e^(-y)((x+e^(-y))^(-2))'=
e^(-y)*(-2((x+e^(-y))^(-3)))*(x+e^(-y))'=-2e^(-y)/(x+e^(-y))^3
и все
-2e^(-y)/(x+e^(-y))^3-(-2e^(-y)/(x+e^(-y))^3)=-2e^(-y)/(x+e^(-y))^3+2e^(-y)/(x+e^(-y))^3=0
Объяснение:
Даны вершины треугольника А(-1;2;1),В(3;0;-4),С(2;0;0).
Решение имеет 2 варианта (надо было оговорить в задании - какой нужен).
1) По теореме косинусов. Для этого находим длины сторон треугольника. Квадрат Сторона
AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 16 4 25 45 6,708203932
BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 1 0 16 17 4,123105626
AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 9 4 1 14 3,741657387.
cos A = (b² + c² - a²)/(2bc) = (14+45-17)/(2√14*√45) = 0,836660027.
cos B = (a² + c² - b²)/(2ac) = (17+45-14)/(2√17*√45) = 0,867721831,
cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (17+14-45)/(2√17*√14) = -0,453742606.
Косинус угла С отрицательный, значит, этот угол тупой.
ответ: треугольник тупоугольный
2) По векторам.
AB = (3-(-1); 0-2; -4-1) = (4; -2; -5). Модуль равен √45.
BC = (2-3; 0-0; 0-(-4)) = (-1; 0; 4). Модуль равен √17.
AC = (2-(-1); 0-2; 0-1) = (3; -2; -1). Модуль равен √14.
Векторы ВА, СВ и СА имеют обратные знаки координат).
cos A = (4*3 + (-2)*(-2) + (-5)*(-1))/(√45*√14) = 21/√630 = 0,836660027.
cos B = (-4*(-1) + 2*0 + 5*4)/(√45*√17) = 24/√765 = 0,867721831.
cos C = (1*(-3) + 0*2 + (-4)*1)/(√17*√14) = -7/√238 = -0,453742606.
Вывод о виде треугольника сохраняется, как и в первом варианте.
.
.
а1, а1+d,. a1 +2d, a1+3d, ..a1+(n-1)d
то есть последовательность чисел (членов прогрессии) , каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии) :
Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
a(n) = a1 + (n-1)d
Примеры
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3
1, −1, −3, −5, −7 — арифметическая прогрессия с шагом −2
π,π,π,π — арифметическая прогрессия с шагом 0
Свойства
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
a(n) = a(n-1) + d { (n-1) и n -это маленькие значки при члене прогрессии а, обозначают номер члена
прогрессии) }
.
а) 11, 22, 33, 44
Видно, что каждый раз к числу прибавляют 11
22-11 = 11
33 -22=11
44-33=11
то есть здесь d=11
Тогда
А (n) = a(1) +(n-1)d
a(1) = 11 - первый член
d = 11 - разница между двумя соседними членами прогрессии
A(n) = a(1) +(n-1)d = 11 + (n-1)*11 = 11 + 11n - 11 = 11n
так же и в б)
б) 20, 17, 14, 11, 8
17 - 20 = - 3
14 - 17 = - 3
d= - 3
A(n) = a(1) +(n-1)d = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n +3 = 23 - 3n
в) -1, -6, -11, -16
(-6) - (-1) = -6 + 1 = -5
(-11) - (-6) = - 11 + 6 = -5
d = -5
a(n) = a(1) + (n-1)d = (-1) + (n-1) * (-5) = -1 -5n + 5 = 4 - 5n