Question

1)y'=cos3x. 2)y"-8y'+16y=0 rewit def uravneniya. zhiraffe27

Answer 1

$y=\int{cos3x}\,dx$
Сделаем замену:
3x=u ->3dx=du:
$y=\frac{1}{3}\int{cos(u)}\,du=\frac{1}{3}sin(u)+C_1$
$y=\frac{1}{3}sin(3x)+C_1$

$2)y''-8y'+16y=0$
Допустим, что решение будет пропорционально $e^{{\lambda}x}$ для некоторой $\lambda$.
Заменим $y=e^{{\lambda}x}$ в диф. уравнение:
$(e^{{\lambda}x})''-8(e^{{\lambda}x})'+16e^{{\lambda}x}=0$
$\lambda^2e^{{\lambda}x}-8\lambda}e^{{\lambda}x}+16e^{{\lambda}x}=0$
$e^{{\lambda}x}(\lambda^2-8\lambda+16)=0$
$\lambda^2-8\lambda+16=0$
$(\lambda-4)^2=0$
$\lambda_1=4$
$y_1=c_1e^{4x}$
$\lambda_2=4$
$y_2=c_2e^{4x}$
$y=y_1+y_2=c_1e^{4x}+c_2e^{4x}$