Задача 1
Дано:
m1 р-ра = 1 кг
ω1 = 30%
m2 р-ра = 2 кг
m3 р-ра = 3 кг
ω1 = 25%
Найти:
ω2 - ?
Решение:
1) Найти массу соли в р-ре 1:
m1 (соли) = ω1 (соли) * m1 р-ра / 100% = 30% * 1 / 100% = 0,3 кг;
2) Найти массу соли в р-ре 3:
m3 (соли) = ω3 (соли) * m3 р-ра / 100% = 25% * 3 / 100% = 0,75 кг;
3) Найти массу соли в р-ре 2:
m2 (соли) = m3 (соли) - m1 (соли) = 0,75 - 0,3 = 0,45 кг;
4) Найти массовую долю соли в р-ре 2:
ω2 (соли) = m (соли) * 100% / m2 р-ра = 0,45 * 100% / 2 = 22,5%.
ответ: Концентрация второго раствора составляла 22,5%.
Задача 2
Дано:
l1 = 80 км
l2 = 69 км
v2 = (v1 + 6) км/ч
t2 = (t1 - 0,5) ч
Найти:
t общ. - ?
Решение:
1) Для удобства вычислений принять v1 за (х) км/ч, тогда v2 = (х + 6) км/ч; а t1 - за (у) ч, тогда t2 = (у - 0,5) ч;
2) Используя формулу v = l / t составить и решить систему уравнений:
| х = 80 / у
| (х + 6) = 69 / (у - 0,5)
(80 / у) + 6 = 69 / (у - 0,5);
6у^2 + 8у - 40 = 0;
Дискриминант D = 1024;
Корни у1 = 2, у2 = -(10/3);
Т.к. (у) - время и отрицательным быть не может, то
у = 2;
t1 = у = 2 ч;
3) Найти время, за которое был пройден второй участок пути:
t2 = (t1 - 0,5) = 2 - 0,5 = 1,5 ч;
4) Найти общее время нахождения поезда в пути:
t общ. = t1 + t2 = 2 + 1,5 = 3,5 ч = 3 ч 30 мин.
ответ: Общее время нахождения поезда в пути составило 3 ч 30 мин.
2 см и 2 см
Объяснение:
Дан прямоугольник, периметр которого равен 8 см. Тогда сумма двух сторон равна 8:2 = 4 см. Обозначим через x одну сторону прямоугольника. Тогда вторая сторона равна: 4–x. Теперь составим функцию площади прямоугольника: y=x·(4–x)=4·x-x². Дифференцируем функцию
y'=(4·x–x²)'=4–2·x.
Находим критические точки функции:
y'=0 ⇔ 4–2·x=0 ⇔ x=2 – критическая точка.
Проверим знаки производной:
при x<2: y'=4–2·x>0 и при x>2: y'=4–2·x<0.
Значит, x=2 точка максимума. Тогда
yмакс=y(2)=4·2–2²=8–4=4 см²,
а стороны x=2 см и 4–2=2 см.
