Question

Исследовать функцию и построить график: y=1/(x²-3x).

Answer 1

$y= \frac{1}{x^2-3x}$

1. Область определения функции
$x^2-3x\ne0 \\ x_1\ne0 \\ x_2\neq 3 \\ \\ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)$

2. Нечетность функции
$y(-x)= \frac{1}{(-x)^2-3(-x)} =- \frac{1}{-x^2-3x}$
Итак, функция ни четная ни нечетная.

3. Точки пересечения с осью Оу и Ох
3.1. С осью Ох (у=0)
$\frac{1}{x^2-3x} =0$
Дробь, обращается в 0 тогда, когда числитель равно нулю
$1\neq 0$
Точки пересечения с осью Ох нет

3.2. С осью Оу (х=0)
$y= \frac{1}{0^2-0}$ - на 0 делить нельзя
Точки пересечения с осью Оу нет

4. Критические точки, возрастание и убывание функции
$y'=(\frac{1}{x^2-3x} )'= \frac{1'\cdot (x^2-3x)-1\cdot (x^2-3x)'}{(x^2-3x)^2} =- \frac{2x-3}{(x^2-3x)^2}$

$y'=0 \\ - \frac{2x-3}{(x^2-3x)^2} =0$
Дробь будет 0 тогда, когда числитель равно нулю
$2x-3=0 \\ x=1.5$

__+__(0)___+__(1.5)___-___(3)__-___
Итак, Функция возрастает на промежутке (-∞;0) и (0;1.5), а убывает на промежутке (1.5;3) и (3;+∞). В точке х=1,5- функция имеет локальный максимум; (1.5;-4/9) - относительный максимум

5. Точки перегиба:
$y''=( \frac{-2x+3}{(x^2-3x)^2} )'= \frac{2(3x^2-9x+9)}{(x^2-3x)^3}$
$y''=0 \\ 3x^2-9x+9=0 \\ D=81-9\cdot 4\cdot 3$
D<0, значит уравнение корней не имеет

Возможные точки перегиба: нет.

Вертикальные асимптоты (D(y)): $x =0; \,\,\,\, x=3$
Наклонных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты: y=0
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2-3x} =0$