1)Чтобы уравнение имело 2 различных корня, дискриминант должен быть больше 0. ТОгда a=3; b=-2p; c=6-p. D=b^2-4ac=(-2p)^2 -4*3*(6-p)=4p^2-72+12p=4p^2+12p-72>0; p^2+3p-18>0;С метода интервалов получим(p-3)*(p+6)>0; p< - 6 U p > 3. p∈(-·бесконечность; - 6) U (3; +бесконечность). 2) Чтобы уравнение имело только один корень, дискриминант должен равняться нулю. Д=0 при р= -6 и при р =3. 3)Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля. p^2+3p-18 <0; -6 < p < 3. p∈ ( -6; 3) 4) Хотя бы один корень, значит, или один или два корня, Поэтому объединим решения 1-го и 2-го случаев и получим ответ.x∈(-бесконечность ; -6] U [ 3 ; + бесконечность)
х - 1 - второе искомое число.
х³ - (х - 1)³ = 61
х³ - (х³ - 3х² + 3х - 1) = 61
х³ - х³ + 3х² - 3х + 1 = 61
3х² - 3х + 1 - 61 = 0
3х² - 3х - 60 = 0 I: 3
х² - х - 20 = 0
D = (-1)² - 4 · (-20) = 81 = 9²
х₁ = (1 + 9)/2 = 5 - первое искомое число.
х₂ = (1 - 9)/2 = - 4 - не является натуральным числом.
5 - 1 = 4 - второе искомое число.
ответ: 5 и 4.