Question

Запишите общее решение уравнения без правой части, соотвествующего данному y''+5y'+6y=3xexp(-x).

Answer 1

$y{''}+5y{'}+6y=3x*e^{-x}$
Без правой части, т. е. однородное уравнение выглядит так:
$y{''}+5y{'}+6y=0$
Соответствующее  характеристическое уравнение:
$\beta ^{2}+5 \beta +6=0$
Решаем его:
$D=25-4*6=1$
$\beta _{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1} } {2}= \frac{-5 \pm {1} } {2}$
$\beta _{1} = \frac{-5 - {1} } {2}=-3$
$\beta _{2} = \frac{-5 + {1} } {2}=-2$
Корни не кратные. Поэтому решение общего однородного уравнения запишется в виде:
$y_{oo}=C_{1}e^{ \beta _{1}x}+C_{2}e^{ \beta _{2}x}$
Где С1 и С2 произвольные постоянные. С учетом найденных корней Х. Ур.
$y_{oo}=C_{1}e^{ -3x}+C_{2}e^{-2x}$