Question

Сколько корней имеет уравнение sin3х + |sinх| = sin2х

Answer 1

1) sin x < 0; x Є (-pi + 2pi*k; 2pi*k); |sin x| = -sin x
sin 3x - sin x = sin 2x
sin x*(3 - 4sin^2 x) - sin x = 2sin x*cos x
sin x*(2 - 4sin^2 x) = 2sin x*cos x
Так как sin x < 0 (то есть не = 0), делим на 2sin x
1 - 2sin^2 x = cos x
1 - 2 + 2cos^2 x - cos x = 0
2cos^2 x - cos x - 1 = 0
(cos x - 1)(2cos x + 1) = 0
a) cos x = 1, тогда sin x = 0 - не подходит
b) cos x = -1/2; sin x < 0;
x1 = 4pi/3 + 2pi*k

2) sin x = 0,  тогда sin 2x = 0; sin 3x = 0
x2 = pi*k - подходит

3) sin x > 0; x Є (2pi*k; pi + 2pi*k); |sin x| = sin x
 sin 3x + sin x = sin 2x
sin x*(3 - 4sin^2 x) + sin x = 2sin x*cos x
sin x*(4 - 4cos^2 x) = 2sin x*cos x
4sin x*sin^2 x = 2sin x*cos x
Так как sin x > 0 (то есть не = 0), делим на 2sin x
2sin^2 x = 2 - 2cos^2 x = cos x
2cos^2 x + cos x - 2 = 0
D = 1 - 4*2(-2) = 17
cos x = (-1 - √17)/4 < -1 - не подходит
cos x = (-1 + √17)/4; sin x > 0
x3 = pi - arcsin ( (-1 + √17)/4 ) + 2pi*k
ответ: бесконечное количество корней, объединенных в 3 группы.
x1 = 4pi/3 + 2pi*k
x2 = pi*k
x3 = pi - arcsin ( (-1 + √17)/4 ) + 2pi*k