Question

Докажите, что если а+б+с=0, то а^3+б^3+с^3=3абс докажите,что если а+б+c=а^2+б^2+с^2=а^3+б^3+с^3=1, то абс=0

Answer 1

Задание 1
(a+b+c)³=(a+b)³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³
или
(a+b+c)³=
откуда
a³+b³+c³=(a+b+c)³-3a²b-3ab²-3a²c-3b²c-3ac²-3bc²-6abc
заменим  (a+b+c)=0
a³+b³+c³=-3ab(a+b)-3ac(a+c)-3bc(b+c)-6abc
заменим  a+b=-c
                 a+c=-b
                 b+c=-a

a³+b³+c³=-3ab(-c)-3ac(-b)-3bc(-a)-6abc
a³+b³+c³=3abc+3abc+3abc-6abc
a³+b³+c³=3abc
что и требовалось доказать.

задание 2.
а+b+c=а²+b²+c²=1
a+b+c=а³+b³+c³ =1

(a+b+c)=1
Возводим обе части равенства в квадрат
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
а²+b²+c²=1
значит
2ab+2bc+2ac=0
(a+b+c)=1
Возводим обе части равенства в куб
a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3a²c+3ac²+3b²c+3bc²+6abc=1
так как
а³+b³+c³=1
1+3ab(a+b)+3a²c+3ac²+3b²c+3bc²+6abc=1
3ab(a+b)+3a²c+3ac²+3b²c+3bc²+6abc=0  (*)
Учитывая, что
2ab+2bc+2ac=0   , то   ⇒  ab=-bc-ac  ⇒ab=-c(a+b)

равенство (*) примет вид
3(-с)(a+b)(a+b)+3a²c+3ac²+3b²c+3bc²+6abc=0
или
-3с(a²+2ab+b²)+3a²c+3ac²+3b²c+3bc²+6abc=0
-3a²c-6abc-3b²c+3a²c+3ac²+3b²c+3b²c+6abc=0
3ac²+3b²c=0
3c(ac+bc)=0
из
2ab+2bc+2ac=0    ⇒  ac+bc=-ab
3c(-ab)=0
3abc=0
abc=0
что и требовалось доказать