Question

Решить неравенство cos^22x+cos^2 x< _1

Answer 1

Cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1
cos²2x+cos²x-1=(2cos²x-1)²+cos²x-1=4cos⁴x-4cos²x+1+cos²x-1=4cos⁴x-3cos²x
Решаем неравенство
4cos⁴x-3cos²x≤0
cos²x(4cos²x-3)≤0
cos²x>0  при любом всех х, кроме х=π/2+πn, n∈Z
поэтому  х=π/2+πn, n∈Z - решения неравенства

4 cos²x - 3 ≤0
(2cosx-√3)·(2cosx+√3) ≤ 0
$\left \{ {{2cosx- \sqrt{3} \geq 0 } \atop {2cosx+ \sqrt{3} \leq 0}} \right.$   или  $\left \{ {{2cosx- \sqrt{3} \leq 0 } \atop {2cosx+ \sqrt{3} \geq 0}} \right.$

$\left \{ {{cosx \geq \frac{ \sqrt{3} }{2} } \atop {cosx}\leq- \frac{ \sqrt{3} }{2} }} \right.$
или
$\left \{ {{cosx}\leq \frac{ \sqrt{3} }{2} } \atop {cosx} \geq - \frac{ \sqrt{3} }{2} }} \right.$

первая система не имеет решений.
Вторую можно записать в виде двойного неравенства

$- \frac{ \sqrt{3} }{2}\leq cosx\leq \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \pi k+ \frac{ \pi }{6}\leq x\leq \frac{5 \pi }{6}+ \pi k,k\in Z$
ответ. $x= \frac{ \pi }{2}+ \pi n,n\in Z$
$pi k+ \frac{ \pi }{6}\leq x\leq \frac{5 \pi }{6}+ \pi k,k\in Z$