Question

Найти параметр а, при котором уравнение 2a cosx - 2 sinx = a имеет хотя бы одно решение на отрезке [π/2; π]

Answer 1

$2a\cos x-2\sin x=a\\ 2a| \sqrt{1-\sin^2x} |-2\sin x=a$
Пусть $\sin x=t$, причем $|t| \leq 1$, тогда получаем
$2a| \sqrt{1-t^2}|-2t=a$
ОДЗ: 1-t²≥0, откуда |t|≤1  ⇒  -1 ≤ t ≤ 1
$2a \sqrt{1-t^2}=2t+a \\ \sqrt{1-t^2}= \frac{2t+a}{2a}\\ 1-t^2= \frac{(2t+a)^2}{4a^2}\\ (1-t^2)4a^2=4t^2+4ta+a^2\\ 4a^2-4a^2t^2-4t^2-4ta-a^2=0\\ -4t^2(1+a^2)-4at+3a^2=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-4a)^2-4\cdot(-4)\cdot(1+a^2)\cdot 3a^2=\\=16a^2+48a^2(1+a^2)=16a^2+48a^2+48a^4=64a^2+48a^4\\ D=0\\ 16a^2(4+3a^2)=0\\ a=0$

Итак, подставив а=0, получаем
-2sinx=0
x=πk,k ∈ Z
Отбор корней на отрезке [π/2;π]
k=1; x=π - одно решение

ответ: при а=0 уравнение имеет решений на отрезке [π/2;π]