Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией параболой у = x^2 + 4x — 3 и касательной к ней в точках m (0, -3), n (3, 0).

Answer 1

1. К параболе проведено ДВЕ касательных, их общие уравнения:
1) $Y_{1}=y(a)+y'(a)*(x-a)$ в точке а=0
2) $Y_{2}=y(b)+y'(b)*(x-b)$ в точке b=3

2. Найдем уравнения касательных в указанных точках:
1) $y(0)=-3$
$y'(x)=2x+4$
$y'(0)=4$
$Y_{1}=-3+4x=4x-3$
2) $y(3)=3^{2}+4*3-3=9+12-3=18$
$y'(3)=2*3+4=6+4=10$
$Y_{2}=18+10*(x-3)=10x+18-30=10x-12$

3. Начертим ТРИ графика (парабола и две прямых) в одной системе координат и выделим область, площадь которой нужно найти (см. прикрепление).
синим цветом - парабола; красным - касательная Y2; зеленым - касательная Y1.
4. Нужно найти площадь желтой фигуры.
Найдем пределы интегрирования, для этого:
4.1) $x^{2}+4x-3=10x-12$
$x^{2}-6x+9=0$
$x=3$
4.2) $x^{2}+4x-3=4x-3$
$x^{2}=0$
$x=0$
4.3) $10x-12=4x-3$
$6x=9$
$x=1.5$
4.4) $S_{1}= \int\limits^{1.5}_{0} {(x^{2}+4x-3-4x+3)} \, dx=\int\limits^{1.5}_{0} {(x^{2})} \, dx= \frac{x^{3}}{3}= \frac{3^{3}}{2^{3}*3}=\frac{9}{8}$

$S_{2}= \int\limits^{3}_{1.5} {(x^{2}+4x-3-10x+12)} \, dx=\int\limits^{3}_{1.5} {(6x-9-x^{2})} \, dx=\int\limits^{3}_{1.5} {(x^{2}-6x+9)} \, dx=\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}+9x=3^{2}-3*3^{2}+9*3-(\frac{3^{3}}{8*3}-\frac{3*3^{2}}{2^{2}}+\frac{9*3}{2})=9-27+27-\frac{9}{8}+\frac{27}{4}-\frac{27}{2}=\frac{72-9+54-108}{8}=\frac{9}{8}$
$S=S_{1}+S_{2}=2*\frac{9}{8}=\frac{9}{4}=2.25$

ответ: площадь фигуры равна 2,25 кв.ед.