Question

Решить уравнения 1. 3cosx=-2x 2. cos4x-cos12x=0 3. sinx=-sin3x

Answer 1

$1) 3cosx=-2(1-cos^2(x))\\ 2cos^2(x)-3cos(2x)-2=0\\ cos(x)=t \\ 2t^2-3t-2=0 \\ D=9+16=25=5^2 \\ t_1=(3+5)/4=2 1 \\ t_2=(3-5)/4=-1/2 \\ cos(x)=-1/2 \\ x=+-(2 \pi /3)+ 2 \pi n$

$2) cos4x-cos12x=0 \\ -2*sin( \frac{4x+12x}{2} )*sin ( \frac {4x-12x}{2})=0 \\ sin8x * sin4x=0 \\ a) sin4x=0 4x= \pi m x= \pi m/4\\ b) sin8x=0 8x= \pi m x= \pi m/8$
Замечаем, что первая серию целиком входит во вторую, поэтому в ответе пишем только:
$x= \pi m/8$

$3) sinx=-sin3x \\ sinx+sin3x=0 \\ 2sin(x+3x)/2 * cos(x-3x)/2=0 \\ sin2x*cosx=0\\ a) sin2x=0 \\ 2x= \pi m \\ x= \pi m /2 \\ b) cosx=0 x=\pi/2 + \pi k$
Замечаем, что вторая серия целиком входит в первую, поэтому в ответе будет только $x=\pi*m/2$.