Question

Решите уравнение найдите сумму корней в отрезке [0; 2\pi)

Answer 1

ОДЗ:
$sin(x- \pi/4)0 \\ 2*\pi n< x - \pi /4 < \pi + 2*\pi n \\ \pi/4 + 2*\pi n < x < 5*\pi /4+ 2*\pi n$
Найдем при каких икс числитель равен нулю:
cos2x+sinx=0
$1-2*sin^2(x)+sin(x)=0 \\ t=sin(x) \\ 2t^2-t-1=0 \\ D=1+8=9=3^2 \\ t_1=(1+3)/4=1 \\ t_2=(1-3)/4=-1/2.$
Обратная замена дает, что:
$sinx=1 x=\pi /2 + 2*\pi k$
sinx=-1/2, с учетом ОДЗ:
$x=7 \pi /6 +2*\pi m$

Отбирая корни, попадающие на отрезок от нуля до пи, получаем пи пополам и семь пи на шесть, которые в сумме дадут:
$\pi /2 + 7 \pi /6 = 10 \pi /6= 5 \pi /3$