Question

Сравните числа a и b, если: а) а=log числа 127/7 по основанию 1/7 и b=0,5^0,2 б) a=log числа 2000 по основанию 3 и b=500^1/3

Answer 1

A) $\displaystyle a=\log_{1/7}\left(\frac{127}{7}\right)=\frac{\ln(127/7)}{\ln(1/7)}=-\frac{\ln(127/7)}{\ln(7)}\ \textless \ 0.$ т.к. 127/7>1 и, соответственно, ln(127/7)>0.
b>0 - очевидно. Значит a<b.

б) Т.к. 2000<2187=3⁷ и т.к. $\log_3 x$ - возрастающая функция, то 
$a=\log_3 2000\ \textless \ \log_3 3^7=7.$
Т.к. 500>343=7³ и т.к.  $x^{1/3}$ - возрастающая функция, то $b=500^{1/3}\ \textgreater \ (7^3)^{1/3}=7.$ Значит, а<7<b.