Question

10 класс определите все значения параметра, при которых уравнения x^2+ax+1=0 и x^2+x+a=0 имеют хотя бы один общий корень

Answer 1

Если уравнения имеют общий корень, то этот корень будет также корнем уравнения

$x^{2} +ax+1= x^{2} +x+a$

Немного преобразуем это уравнение.

$ax+1=x+a$
$ax+1-x-a=0$
$ax-x-a+1=0$
$x(a-1)-(a-1)=0$
$(a-1)(x-1)=0$
$a-1=0$ или $x-1=0$
$a=1$ или $x=1$

Если a=1, то оба уравнения примут вид

$x^{2} +x+1=0$

Дискриминант этого уравнения меньше нуля, поэтому, оно не имеет (действительных) корней, и этот случай нам не подходит.

Если x=1, то, подставив это значение (например) в первое уравнение, получим:

$1^2+a*1+1=0$
$a+2=0$
$a=-2$

При этом значении a первое уравнение принимает вид

$x^2-2x+1=0$

Оно имеет единственный корень x=1.

Второе уравнение при a=-2 принимает вид

$x^2+x-2=0$

Оно имеет два корня: x=1 и x=-2.

Данный случай нам подходит, так как при a=-2 уравнения имеют общий корень x=1.

Получается, что единственный случай, который нам подходит - это a=-2.

ответ: {-2}.