обозначим скорость мотоцикла m, а скорость автомобиля а км/мин.
длина трассы 40 км.
за 20 мин мотоцикл проехал 20m км. в этот момент выехал автомобиль.
через 30 мин автомобиль догнал мотоцикл, проехав 30a км.
мотоцикл к этому моменту проехал 20m
+ 30m = 50m км.
30a = 50m; a = 5m/3
еще через 40 минут мотоцикл проехал 40m км, а автомобиль на 1 круг больше, то есть 40a км.
40a = 40m + 40
a = m + 1 = 5m/3
m + 1 = m + 2m/3
2m/3 = 1
m = 3/2 = 1,5 км/мин =
1,5*60 км/ч = 90 км/ч - скорость мотоцикла.
a = 5m/3 = 5*90/3 = 5*30 = 150 км/ч - скорость автомобиля.
Пусть первый, работая отдельно, может выполнить работу за х часов, тогда его производительность (1/x) часть работы в час.
Пусть второй, работая отдельно, может выполнить работу за у часов, тогда его производительность (1/у) часть работы в час.
Первый работал 3 часа с производительностью (1/х), второй 2 часа с производительностью (1/у). Вместе они выполнили 9/20 .
Уравнение:
3·(1/х) + 2 ·(1/у) = 9/20;
Пусть через t часов после начала работы первого они выполнили всю работу.
Второй при этом работал (t-1) час. Каждый выполнил половину всей работы.
Уравнение
t·(1/x)=1/2 ⇒ t = x/2
(t-1)·(1/y)=1/2
(x/2)-1=y/2
y= x-2
Подставим у=х-2 в первое уравнение:
3·(1/х) + 2/(х-2) = 9/20;
60(х-2) + 40х=9х(х-2);
9х²-118х+120=0
D=(-118)²-4·9·120=13924-4320=9604=98²
x=(118+98)/18=12 или х=(118-98)/18=10/9
второй корень чуть больше 1 и не удовлетворяет условию задачи
у=х-2=12-2=10
ответ. Первый за 12 часов, второй за 10 часов.