12 минут.
Объяснение:
Решил-таки эту трудную задачу!
Обозначим скорость Ани х м/мин, а скорость Максима бегом у м/мин.
Расстояние от дома до школы обозначим S.
1) Если Максим выходит через 3 мин после Ани, то он догоняет ее в середине пути.
За эти 3 мин Аня пройдет 3x м.
Пусть он догоняет ее за t1 мин.
y*t1 = S/2, то есть S = 2y*t1
За эти t1 мин Аня пройдет ещё x*t1 м.
Всего Аня пройдет x*(t1+3) м, и это тоже середина пути.
S = 2x*(t1+3)
2) Если Максим выходит через 4 мин после Ани, то он догонит ее в таком месте, что ему останется идти со скоростью Ани столько же времени, сколько он до этого бежал.
То есть, на то, чтобы догнать Аню, он затратит половину от времени всего пути.
Обозначим расстояние от дома до места встречи S1 м, а время t2 мин.
S1 = y*t2
Аня за 4 мин пройдет 4х м, а потом за t2 мин ещё x*t2 м. Всего
S1 = x*(t2+4)
Оставшийся путь S-S1 они пройдут вдвоем со скоростью х м/мин за тоже время t2 мин.
S - S1 = x*t2
Сведём это всё в систему:
{ S = 2y*t1
{ S = 2x*(t1+3)
{ S1 = y*t2
{ S1 = x*(t2+4)
{ S - S1 = x*t2
Из двух последних уравнений получаем:
S = S1 + x*t2 = x*(t2+4) + x*t2 = x*(t2+t2+4) = 2x*(t2+2)
Из второго уравнения:
S = 2x*(t1+3)
Приравниваем правые части этих уравнений:
2x*(t2+2) = 2x*(t1+3)
t2+2 = t1+3
t2 = t1+1
Теперь возьмём 1 и 2 уравнения системы:
{ S = 2y*t1
{ S = 2x*(t1+3)
Приравниваем их правые части:
2y*t1 = 2x*(t1+3)
y/x = (t1+3)/t1 (*)
А теперь возьмём 3 и 4 уравнения системы:
{ S1 = y*t2 = y*(t1+1)
{ S1 = x*(t2+4) = x*(t1+1+4) = x*(t1+5)
Опять приравниваем правые части:
y*(t1+1) = x*(t1+5)
y/x = (t1+5)/(t1+1) (**)
И, наконец, сведём вместе уравнения (*) и (**):
{ y/x = (t1+3)/t1
{ y/x = (t1+5)/(t1+1)
И, опять же, приравниваем правые части:
(t1+3)/t1 = (t1+5)/(t1+1)
(t1+3)(t1+1) = t1*(t1+5)
t1^2 + 4t1 + 3 = t1^2 + 5t1
3 = t1
Запишем более привычно:
t1 = 3 мин - за это время Максим догонит Аню, если он опаздывает на 3 мин.
t2 = t1+1 = 4 мин - за это время Максим догонит Аню при опоздании на 4 мин.
Нам нужно узнать, за какое время Аня доходит до школы, то есть S/x.
S = 2x*(t1+3)
S/x = 2(t1+3) = 2(3+3) = 2*6 = 12 мин.
