Question

1.найдите экстремумы функции: y= 2.найдите найменьшее значение функции на промежутке [-2; 0]. 3.найдите найбольшее значение функции на промежутке [0; 3].

Answer 1

1)$y' = 4x^2 - 4x^3$

$4x-4x^3=0$

 $4x(1-x^2)=0$

Произведение ранво нулю, когда один из множителей равен нулю.

4x = 0

$x_1$ = 0

$1 - x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x_2=1$

$x_3 = -1$

Имеем три точки экстремума.

2) $y' = 1 - x^2$

$1-x^2=0$

$x_1 = 1$ Не входит в данный промежуток

$x_2 = -1$ Входит в данный промежуток

Мы нашли точку экстремума равной -1, которая находится на нашем промежутке. Теперь надо понять, является она максимумом или минимумом. Для этого берем любое значение из промежутка до -1. Например, x = -2, и подставляем в производную.

y'(-2) < 0

Значит на этом промежутке функция убывает, т.е x = -1 это точка минимума.А значит в этой точке функция имеет наименьшее значение на данном промежутке.

Подставляем x = -1  в функцию.

$y(-1) = -1 - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3$

$y = -1 + \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$

ответ: у = -$\frac{2}{3}$

3) $y' = x^2 - 4$

$x^2 - 4 =0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$ Не входит в данный промежуток

$x_2 = 2$ Входит в данный промежуток

Мы нашли точку экстремума равной 2, которая находится на нашем промежутке. Теперь надо понять, является она максимумом или минимумом. Для этого берем любое значение из промежутка до 2. Например, x = 0, и подставляем в производную.

y'(0) < 0

Значит на этом промежутке функция убывает, т.е x = 2 это точка минимума.А значит в этой точке функция имеет наименьшее значение на данном промежутке. А нам нужно наибольшее значение. Поэтому находим значения функции на границах данного промежутка. Т.е в x = 0 и x = 3.

y(0) =.0

y(3) = 9 - 12 = -3

Получаем, что y(0) > y(3), значит в точке x = 0 функция имеет наибольшее значение на данном промежутке.

ответ: у = 0