Question

Решите уравнение,используя замену неизвестного (x^2-10x)^2 +8 (x-5) ^ 2 - 209 = 0 ^ - степень

Answer 1

$5-\sqrt{26} ;1 ; 5+\sqrt{26} ;9.$

Объяснение:

$(x^{2} -10x)^{2} +8(x-5)^{2} -209=0;\\(x^{2} -10x)^{2}+8( x^{2} -10x+25) -209=0;\\(x^{2} -10x)^{2}+8 (x^{2} -10x) +200-209=0;\\(x^{2} -10x)^{2}+8(x^{2} -10x) -9=0.$

Пусть $x^{2} -10x =t$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^{2} +8t-9=0\\D=8^{2} -4*1*(-9) =64+36=100=10^{2} \\\left [ \begin{array}{lcl} {{t=1}, \\ {t=-9}.} \end{array} \right.$

Тогда получим

$\left [ \begin{array}{lcl} {{x^{2}-10x =1,} \\ {x^{2}-10x =-9}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{lcl} {{x^{2}-10x-1 =0,} \\ {x^{2} -10x+9=0.}} \end{array} \right.$

Покажем решение квадратных уравнений отдельно.

$x^{2} -10x-1=0;\\D_{1} =25+1=26 \\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=5-\sqrt{26,} } \\ {x=5+\sqrt{26} }} \end{array} \right.\\\\x^{2} -10x+9=0\\D_{1} =25-9=16=4^{2} \\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=1} \\ {x=9}} \end{array} \right.$