Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – Область определения функции. Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел). За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу.Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс», для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков: (для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв:
Задача на движение. Часто в таких задачах речь идет о поездах. В нашем случае задача о скоростном и товарном поездах. Вспомним основную формулу для решения: V=S/t Если, вдруг забыли просто вспомните в чем измеряется скорость? Скорость V измеряется в КМ/ЧАС. КилоМетры это ПУТЬ (S), а ЧАСы это ВРЕМЯ (t). Скорость(V)=КМ(S)/ЧАС(T) или V=S/T. ДЛЯ Скорого поезда: T обозначим за Х (тогда время товарного поезда будет Х+3); Скорость V обозначим у (тогда скорость товарного будет у-20); Путь поезда один и тот же:S=360. Составим систему уравнений исходя из основной формулы. y=360/х (у-20)=360/х+3
решим: ху=360 (х+3)(у-20)=360 Правые части равны 360, значит и левые части между собой равны.
(х+3)(у-20)=ху Раскроем скобки и приведем подобные.
-20х+3у-60=0 При этом у=360/х - подставим правую часть этого выражения вместо у.
-20х+3(360/х)-60. Приведем к общ знаменателю (х).
-(20x^2 )/х + 1080/х-60х/х=0
(-20x^2 -60х+1080)/х=0 дробь может быть равна нулю только тогда, когда нулю равен числитель. В нашем случае в знаменателе х и х не может быть равен нулю, т.к. за Х мы обозначили время - это в любом случае положительное будет число.
Значит нулю равно выражение (числитель):
-20x^2 -60х+1080=0 Решим это квадратное уравнение.
Разделим на -20 для удобства.
x^2 +3х-54=0 Решаем квадратное уравнение. х1=6 х2=-9 -- этот результат нам не подходит, т.к. за х мы обозначили время, а это параметр положительный, значит -9 -- посторонний корень.
Остается х=6. Однако, это еще не ответ на вопрос задачи. Решаем дальше. Найти надо СКОРОСТИ поездов, их мы обозначили за У. у=360/х=360/6=60км/ч. 60-20=40км/ч ответ: скорость скоростного поезда 60км/ч; скорость товарного поезда 40 км/ч
Задача на движение. Часто в таких задачах речь идет о поездах. В нашем случае задача о скоростном и товарном поездах. Вспомним основную формулу для решения: V=S/t Если, вдруг забыли просто вспомните в чем измеряется скорость? Скорость V измеряется в КМ/ЧАС. КилоМетры это ПУТЬ (S), а ЧАСы это ВРЕМЯ (t). Скорость(V)=КМ(S)/ЧАС(T) или V=S/T. ДЛЯ Скорого поезда: T обозначим за Х (тогда время товарного поезда будет Х+3); Скорость V обозначим у (тогда скорость товарного будет у-20); Путь поезда один и тот же:S=360. Составим систему уравнений исходя из основной формулы. y=360/х (у-20)=360/х+3
решим: ху=360 (х+3)(у-20)=360 Правые части равны 360, значит и левые части между собой равны.
(х+3)(у-20)=ху Раскроем скобки и приведем подобные.
-20х+3у-60=0 При этом у=360/х - подставим правую часть этого выражения вместо у.
-20х+3(360/х)-60. Приведем к общ знаменателю (х).
-(20x^2 )/х + 1080/х-60х/х=0
(-20x^2 -60х+1080)/х=0 дробь может быть равна нулю только тогда, когда нулю равен числитель. В нашем случае в знаменателе х и х не может быть равен нулю, т.к. за Х мы обозначили время - это в любом случае положительное будет число.
Значит нулю равно выражение (числитель):
-20x^2 -60х+1080=0 Решим это квадратное уравнение.
Разделим на -20 для удобства.
x^2 +3х-54=0 Решаем квадратное уравнение. х1=6 х2=-9 -- этот результат нам не подходит, т.к. за х мы обозначили время, а это параметр положительный, значит -9 -- посторонний корень.
Остается х=6. Однако, это еще не ответ на вопрос задачи. Решаем дальше. Найти надо СКОРОСТИ поездов, их мы обозначили за У. у=360/х=360/6=60км/ч. 60-20=40км/ч ответ: скорость скоростного поезда 60км/ч; скорость товарного поезда 40 км/ч
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статьям Множества и действия над ними, Графики и свойства элементарных функций.Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв: