Question

Проверить удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению.

Answer 1

$z=x\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\\\\\\\frac{\partial z}{\partial x}=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot 2x=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot \Big (1-x^2\Big )\\\\\\\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot 2y=-xy\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\\\\\\\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot 2y\cdot (1-x^2)=-e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (1-x^2)\cdot y$

$\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}+y\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+x\cdot \frac{\partial z}{\partial y}+xyz=\\\\=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot \Big (-(1-x^2)\cdot y+y\cdot (1-x^2)-x^2y\Big )+xy\cdot x\, e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=\\\\=e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (-x^2y)+e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\cdot (x^2y)=0$

Заданная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.