Question

Парабола y=ax2+bx+c имеет вершину в точке (4; —10), причем a+b+c> 0. определить знаки чисел a,b,c.

Answer 1

Координаты вершины параболы:

$\begin{cases} x=-\frac{b}{2a}=4 \\ y=c-\frac{b^2}{4a}=-10 \\ \end{cases} \\\\ \begin{cases} b=-8a \\ 4ac-b^2=-40a \end{cases} \\\\ \left. \begin{cases} b=-8a \\ b^2-4ac-40a=0 \end{cases} \right \} \; \Rightarrow \; 64a^2-4a(c+10)=0 \\\\\\ \left. 4a(16a-c-10)=0 \atop a \neq 0 \right \} \; \Rightarrow \; 16a-c-10=0 \; \Rightarrow \; 16a=c+10 \; \Rightarrow \; \\\\ \; \Rightarrow \; \left. \begin{cases} b=-8a \\ c=16a-10 \\ a+b+c\ \textgreater \ 0 \end{cases} \right \} \; \Rightarrow \; a-8a+16a-10\ \textgreater \ 0 \; \Rightarrow \; 9a\ \textgreater \ 10 \; \Rightarrow \; \\\\\\ \; \Rightarrow \; a\ \textgreater \ \frac{10}{9} \; \Rightarrow \; a\ \textgreater \ 0 \\\\\\ b=-8a \; \Rightarrow \; a=-\frac{b}{8} \\\\ \left. \begin{cases} a=-\frac{b}{8} \\ a\ \textgreater \ \frac{10}{9} \end{cases} \right \} \; \Rightarrow \; -\frac{b}{8}\ \textgreater \ \frac{10}{9} \; \Rightarrow \; -b\ \textgreater \ \frac{80}{9} \; \Rightarrow \; b \ \textless \ -\frac{80}{9} \; \Rightarrow \; b\ \textless \ 0 \\\\ \begin{cases} a=\frac{c+10}{16} \\ c=16a-10 \end{cases}$

$\left. \begin{cases} a=\frac{c+10}{16} \\ a\ \textgreater \ \frac{10}{9} \end{cases} \right \} \; \Rightarrow \; \frac{c+10}{16}\ \textgreater \ \frac{10}{9} \; \Rightarrow \; c\ \textgreater \ \frac{160}{9}-10 \; \Rightarrow \; c \ \textgreater \ \frac{160-90}{9} \; \Rightarrow \; \\\\ \; \Rightarrow \; c \ \textgreater \ \frac{70}{9} \; \Rightarrow \; c\ \textgreater \ 0$

ответ: a>0; b<0; c>0.