гипербола, расположенная в 1 и 4 четверти
Нам не очень нравится второй аргумент(x - π), поэтому применим соответствующую формулу приведения. Но сначала домножим аргумент на -1:
2cos³x + cos(π - x) = 0
Применяя формулы приведения ко второму аргументу, получаем более простое уравнение:
2cos³x - cos x = 0
Данное уравнение решается методом разложения на множители. Вынеся за скобки cos x:
cos x(2cos²x - 1) = 0
cos x = 0 или 2cos²x = 1
x = π/2 + πn, n∈Z cos²x = 1/2
(1 + cos 2x) / 2 = 1/2
1 + cos 2x = 1
cos 2x = 0
2x = π/2 + πk,k∈Z
x = π/4 + πk/2,k∈Z
Перед тем, как начать отбирать корни, сначала попробуем определить, какое решение является более общим, то есть, какое решение вмещает в себя решения другого уравнения. Для этого приравняем обе формулы и выразим одну переменную через другую:
π/2 + πn = π/4 + πk/2
Выразим предположим n через k, так как это сделать намного проще:
πn = π/4 - π/2 + πk/2
n = 1/4 - 1/2 + k/2
n = -1/4 + k/2 = k/2 - 1/4
Проанализировав это равенство приходим к выводу, что k > n. Значит, второе решение включает в себя также первое решение, а потому, решение π/4 + πk/2 и является более общим. По этой формуле и будем производить отбор корней.
Впихнём эту формулу в заданный интервал и решим двойное неравенство относительно k.
-π/2 < π/4 + πk/2 ≤ π/2
-3π/4 < πk/2 ≤ π/4
Разделим всё неравенство на π/2, получаем:
-1.5 < k ≤ 1
Значит, при k= -1; 0; 1 получатся корни, принадлежащие данному промежутку. Теперь посдтавим просто k в нашу формулу и найдём эти корни:
k = 0 x = π/4
k = 1 x = π/4 + π/2 = 3π/4
k = -1 x = π/4 - π/2 = -π/4
Это корни, принадлежащие данному промежутку. Здаачу мы решили.
1 задача. Пусть лучше х будет продано яблок во второй день, тогда в первый будет х+20 или 3х+х. Составим и решим уравнение
х+20+х=3х+х
2х+20=4х
2х=20
х=10, во второй день
10+20=30 или 10*3=30 продали во второй день
10+30=40 всего продано яблок за 2 дня.
2 задача. Пусть х км/ч будет скорость мотоцикла, тогда скорость автомобиля будет х+40. Время в пути автомобиля и мотоцикла 3+1=4ч.Зная что весь путь 380 км.Составим и решим уравнение.
(х+40)*3+х*1=380
3х+120+х=380
4х=260
х=65 км/ч скорость мотоцикла
65+40=105 км/ч скорость автомобиля
Проверка
65км/ч*1ч+105км/ч*3ч=380км
65км+315км=380км
380км=380км