Question

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Answer 1

Составьте уравнение той касательной к графику функции y=ln3x, которая проходит через начало координат

Заметим, что данная функция не проходит через начало координат, а значит точка О(0;0) не является точкой касания. 

Пусть точка касания А(а;в)

составим уравнение касательной в точке А

$\dispaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)*(x-x_0)$

где y(x0)=в. x0=a

$\dispaystyle y`(x)=(ln3x)`= \frac{1}{3x}*3= \frac{1}{x}$

тогда уравнение касательной будет выглядеть так: 
$\dispaystyle y_{kac}=b+ \frac{1}{a}(x-a)$

и эта прямая проходит через точку О(0;0)
подставим эти координаты

$\dispaystyle 0=b+ \frac{1}{a}(0-a)=b-1\\b=1$

тогда уравнение касательной примет вид

$\dispaystyle y_{kac}=1+ \frac{1}{a}(x-a)=1+ \frac{x}{a}-1= \frac{x}{a}$

Так как касательная у нас проведена к нашей функции то у них есть общая точка пересечения

$\dispaystyle \frac{x}{a}=ln3x$

т.к. в=1, то а=е/3 (ln3x=1: 3x=e; x=e/3)

тогда

$\dispaystyle \frac{e}{3a}=ln(3* \frac{e}{3})\\ \frac{e}{3a}=1\\a= \frac{e}{3}$

 и тогда точка касания А(е/3;1)
уравнение касательной 
$\dispaystyle y=\frac{x}{e/3}= \frac{3x}{e}$

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=ln(3x), проходящей через начало координат, мы должны найти производную функции и использовать ее значение в точке начала координат.

Шаг 1: Найдем производную функции y=ln(3x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции ln(x), которое состоит в том, что производная ln(x) равна 1/x.

dy/dx = d/dx [ln(3x)]
= (1/(3x)) * d/dx[3x]
= (1/(3x)) * 3
= 1/x

Шаг 2: Теперь, чтобы найти значение производной в точке начала координат (0,0), мы должны подставить x = 0 в производную.

dy/dx = 1/x

dy/dx(0) = 1/0 (формально неопределенное выражение)

Заметим, что производная в точке начала координат является асимптотой графика функции. Асимптота функции y=ln(3x) проходит через начало координат, следовательно, функция на самом деле не имеет касательной, которая проходит через начало координат.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=ln(3x), проходящей через начало координат, не существует.