Question

Докажите что для любых натуральных чисел n выполняются условия 1)(n^2+3n) кратно 2 2)n(n+1)^2*(3n=2) кратно 4 3)(n^3+11n) кратно 6 4)(n^3+3n^2+2n) кратно 6

Answer 1

1) $n^2+3n=n(n+3)$

Так как 3 - нечетное число, то один из множителей обязательно будет четным. Если в произведении есть хотя бы один четный множитель, то все произведение делится на 2.

2) Откуда взялся знак равенства?

3) Предположим, что при n=k $k^3+11k$ делится на 6

Докажем что и при n=k+1 предположение верно: $(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=(k^3+11k)+3(k^2+k+1)$ - верно

4) Предположим, что при n=k $k^3+3k^2+2k$ делится на 6Докажем что и при n=k+1 предположение верно: $(k+1)^3+3(k+1)^2+2(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+2k+2=(k^3+3k^2+2k)+3(k^2+k)+6k+6$ - верно

Answer 2

n^2+3n=n(n+3)-произведение двух разных по четности слогаемых быдут четным числом. и любое четное(и при том натуральное) число делится на 2.

n(n+1)^2*(3n+2)

Рассмотрим:

1)n(n+1)^2 -это число являеется произведением двух разных по четности чисел -это четное число

2)(3n+2) - это нечетное число

но так как n -натуральное то:

при n=1;

1*(1+1)^2(3*1+2)=4*5=20 -кратно 4

при n=2 :2(2+1)^2(3*2+2)=18*8=144 -кратно 4

значит при всех других натуральных n будет кратно 4