Question

Решить дифференциальное уравнение. 4(ху+у)dx=2хdу , если у=е при х=1

Answer 1

решить дифференциальное уравнение.
4(ху+у)dx=2хdу , если у=е при х=1

Решение

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

2xdy  = 4(ху+у)dx

  xdy  = 2y(х+1)dx

$\frac{dy}{y} = (2\frac{x+1}{x})dx$

$\frac{dy}{y} = ( 2+\frac{2}{x})dx$

Интегрируем обе части уравнения

$\int\limits\frac{dy}{y} = \int\limits(2+ \frac{2}{x})dx$

$lny = 2x+ 2lnx+ lnC$

$lny = lne^{2x}+ lnx^2+ lnC$

$lny = ln(Cx^2e^{2x})$

$y = Cx^2e^{2x}$

Подставим начальные условия и найдем значение константы С

$e = C*1^2e^2$

$C= \frac{1}{e}$

Поэтому запишем частное решение

$y = x^2e^{2x-1}$