Question

Каким будет объединение этих решений тригонометрического уравнения: здесь три разных примера, надо объединить х1 и х2. объясните как это делается

Answer 1

3)  $x_1=\frac{\pi n}{2}\; ;\; \; x_2=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\; ;\; \; \; n,k\in Z$

Приведём множества, определяемые данными формулами, к множествам членов арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=π (или просто, представим их по одной разности π),чтобы иметьодинаковый период πm.Для этого n представим по разности 2, а k представим по разности 5. То есть придаём значение n=2m  или n=2m+1. А для k придаём значения 
k=5m; 5m+1; 5m+2; 5m+3; 5m+4.

$x_1=\frac{\pi n}{2}\; \to \; x_1=\left [ {{\pi m,\; \; esli\; n=2m} \atop {\frac{\pi}{2}+\pi m,\; esli\; n=2m+1}} \right. \\\\x_2=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},\; \to \; x_2= \left [ {{\frac{\pi}{10}+\pi m,\; esli\; k=5m} \atop {\frac{3\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+1}} \right. ,x_2= \left [ {{\frac{\pi}{2}+\pi m,\; esli\; k=5m+2} \atop {\frac{7\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+3}} \right. \\\\ x_2=\left [ {{\frac{9\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+4} \atop {}} \right.$

При n=2m+1  и  k=5m+2 значения $x_1$ и $x_2$ совпадают.Отсюда, подставим либо n=2m+1 в формулу для $x_1$ ,либо k=5m+2 в формулу для $x_2$ . 

$x=\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi (2m+1)}{2}=\frac{2\pi m}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m,\; m\in Z$

Пересечением данных множеств будет $x=\frac{\pi}{2}+\pi m\; ,\; m\in Z.$ 

2) Аналогично. Представим множества решений по одной разности π.Тогда n=4m; 4m+1; 4m+2; 4m+3.  А для k=2m; 2m+1.  Тогда:
$x_1= \left [ {{\pi m,\; n=4m} \atop {\frac{\pi}{4}+\pi m,\; n=4m+1}} \right. ,x_1= \left [ {{\frac{\pi}{2}+\pi m,\; n=4m+2} \atop {\frac{3\pi }{4}+\pi m,\; n=4m+3}} \right. \\\\x_2= \left [ {{\pi m,\; k=2m} \atop {\frac{\pi}{2}+\pi m,\; k=2m+1}} \right. \\\\Peresechenie\; :\; \; x_1=\frac{\pi (4m+2)}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi m\; ,\; m\in Z\\\\ili\; \; x_2=\frac{\pi k}{2}=\frac{\pi (2m+1)}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m,\; m\in Z$

Получили одинаковые ответы, поэтому из какого множества получать ответ безразлично.
1)
  Пересечение множеств:  x=П/2+Пк, к-целое
Смотри вложение.