|x + 4| = 6 - |x|
Нули подмодульных выражений: x = -4; 0
1) x ∈ (-∞; -4]
-x - 4 = 6 + x
2x = -10
x = -5
2) x ∈ (-4; 0]
x + 4 = 6 + x
4 = 6 - неверное равенство ⇒ x ∈ ø
3) x ∈ (0; +∞)
x + 4 = 6 - x
2x = 2
x = 1
ответ: x = -5; 1.
2. |x - 4| < |3x|
|x - 4| - |3x| < 0
Нули подмодульных выражений: x = 0; 4
1) x ∈ (-∞; 0]
-x + 4 + 3x < 0
2x < -4
x < -2
2) x ∈ (0; 4]
-x + 4 - 3x < 0
4x > 4
x > 1, с учётом условия x ∈ (1; 4]
3) x ∈ [4; +∞)
x - 4 - 3x < 0
2x > -4
x > -2, с учётом условия x ∈ [4; +∞)
Объединяя решения, получаем, что x ∈ (-∞; -2) U (1; +∞).
ответ: x ∈ (-∞; -2) U (1; +∞).
Алгебра есть не что иное, как математический язык, при для
обозначения отношений между количествами”.
И. Ньютон
Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над
различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет
возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”
Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) +
(6 + х) откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен
еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не
применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней
математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к
уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте
братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b.
Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в
Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на
глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы
уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При
этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых”
задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых
данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных
преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный
корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное
значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и
а/х.
Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.
С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай,
страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод
последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных
уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших
степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и
усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего
Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь
математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в.
узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб
аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений
первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука
алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов
уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока
изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей
формулы для их корней.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных
математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.
1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал
сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см.
Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением
западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения
кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель
Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и
уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями
кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к
открытию комплексных чисел.
б) p² -2pq+q²=(p-q)²