Question

При каком значении параметра а парабола y=x^2+2ах+1 касается оси абсцисс? найдите координаты точки касания.

Answer 1

парабола может касается оси абсцисс - значит уравнение

x^2+2ax+1=0 имеет один корень (при этом точка касания вершины параболы $(-\frac{2a}{2*1};0)=(-a;0)$ - вершина параболы) ;

значит D=0;

$D=(2a)^2-4*1*1=4a^2-4=4(a^2-1);\\ D=0;\\ 4(a^2-1)=0;\\ a^2-1=0;\\ a^2=1;\\ a_1=-1;\\ a_2=1\\$

первый случай a=-1 точка касания (1;0)

второй случай а=1 точка касания (-1;0)

прим. если задано уравнение параболы $y=ax^2+bx+c, a \neq 0;$

то парабола касается оси абсцисс (уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет одно решение $x=-\frac{b}{2a}$)

если дисриминант равен 0, т.е. $D=b^2-4ac=0$

прим.2 координаты вершина параболы $y=ax^2+bx+c, a \neq 0;$

$(-\frac{b}{2a}; c- \frac{b^2}{4a})$