ответ: 1) -1; 2) 1.
Объяснение:
1) При x⇒0 выражение в скобках представляет собой неопределённость вида ∞-∞. Приводя обе дроби к общему знаменателю, получаем в скобках выражение -sin²(x)/[x*(x+sin²(x))]=-sin(x)/x*sin(x)/[x+sin²(x)]. Предел первого множителя есть ни что иное, как взятый со знаком "минус" первый замечательный предел, поэтому предел этого множителя равен -1. Ко второму множителю sin(x)/[x+sin²(x)] применим правило Лопиталя. Находя производные числителя и знаменателя, получаем выражение cos(x)/[1+2*sin(x)*cos(x)]=cos(x)/[1+sin(2*x)]. Предел этого выражения при x⇒0 равен 1, поэтому искомый предел равен -1*1=-1.
2) Выражение, предел которого нужно найти, при x⇒+0 представляет собой неопределённость вида ∞⁰. Так как при x⇒0 бесконечно малые величины sin(x) и x эквивалентны, то при вычислении предела можно заменить одну на другую. В данном случае заменим sin(x) на x, и тогда выражение, предел которого нужно найти, примет вид y=(1/x)ˣ. Взяв натуральный логарифм от этого выражения, получим выражение z=x*ln(1/x)=ln(1/x)/[1/x]. Полагая теперь 1/x=t, получим выражение z=ln(t)/t. Так как при x⇒0+ t⇒∞, то это выражение представляет собой неопределённость вида ∞/∞, для раскрытия которой применим правило Лопиталя. Производная числителя [ln(t)]'=1/t, производная знаменателя t'=1, поэтому предел выражения lim[ln(t)/t]=lim(z) при t⇒∞ равен 0/1=0. А так как z=ln(y), то lim(z)=ln[lim(y)], откуда lim(y)=e^lim(z)=e^0=1.
Записать сколько книг было на полках изначально.
От первой полки отнять 1, ко второй прибавить 5.
Приравнять результаты после действий.
Решение
Пусть на второй полке было х книг (ведь на второй полке меньше книг). Тогда на второй полке стояло 2х книг (по условию на первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй).
С первой полки забрали 1 книгу - их стало 2х - 1 книг. А на вторую добавили 5 книг - теперь их количество х + 5.
По условию книг на полках стало одинаковое количество. Поэтому нужно приравнять количество 2х -1 и х + 5.
Составим уравнение
2х - 1 = х + 5
Перенесем х влево, а 1 вправо и изменим знак перед 1
2х - х = 5 + 1
х = 6 (книг) было первоначально на второй полке.
2. На первой полке было в 2 раза больше книг. Вычислим количество книг на первой полке.
Умножим 6 на 2
6 * 2 =12 (книг) было изначально на первой полке.
Проверка
Было
1 полка 2 * 6 книг,
2 полка 6 книг.
Стало
1 полка - 2 * 6 - 1 = 11,
2 полка 6 + 5 = 11.
Значения равны, вычисления сделаны правильно.
ответ: 6 книг.
Объяснение:
