Question

A)log₀,₅(x²-3x)= -2 b)log₂²(x-2) - log₂(x-2)=2 c)log₃(x²+2x)< 1 d)log₁/₃(0,1x-5,2)> 2

Answer 1

$a)$
$log_{0.5} ( x^{2} -3x)=-2$

ОДЗ:
$x^2-3x\ \textgreater \ 0$

$x(x-3)\ \textgreater \ 0$
 
    +              -                +
---------(0)----------(3)-------------
///////////                  ////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $;0)$ ∪ $(3;+$ ∞ $)$

$log_{0.5} ( x^{2} -3x)= log_{0.5} 0.5^{-2}$

$log_{0.5} ( x^{2} -3x)= log_{0.5} 4$

$x^{2} -3x= 4$

$x^{2} -3x-4=0$

$D=(-3)^2-4*1*(-4)=9+16=25=5^2$

$x_1= \frac{3+5}{2}=4$

$x_2= \frac{3-5}{2}=-1$

ответ: $-1;$ $4$

$b)$
$log^2_{2} (x-2)- log_{2} (x-2)=2$

ОДЗ:

$x-2\ \textgreater \ 0$

$x\ \textgreater \ 2$

$log^2_{2} (x-2)- log_{2} (x-2)-2=0$

Замена:  $log_{2} (x-2)=t$

$t^2-t-2=0$

$D=(-1)^2-4*1*(2)=1+8=9$

$t_1= \frac{1+3}{2}=2$

$t_2= \frac{1-3}{2}=-1$

$log_{2} (x-2)=2$   или   $log_{2} (x-2)=-1$

$x-2=4$       или       $x-2=0.5$

$x=6$         или        $x=2.5$

ответ:  $2,5;$  $6$
 
$c)$
$log_{3} ( x^{2} +2x)\ \textless \ 1$

ОДЗ:
$x^{2} +2x\ \textgreater \ 0$

$x(x+2)\ \textgreater \ 0$
 
    +              -                +
---------(-2)----------(0)-------------
///////////                  ////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $;-2)$ ∪ $(0;+$ ∞ $)$

$log_{3} ( x^{2} +2x)\ \textless \ log_{3}3$

$x^{2} +2x\ \textless \ 3$

$x^{2} +2x-3\ \textless \ 0$

$D=2^2-4*1*(-3)=4+12=16$

$x_1= \frac{-2+4}{2}=1$

$x_2= \frac{-2-4}{2}=-3$

     +                -                  +
----------(-3)-----------(1)--------------
               /////////////////

С учётом ОДЗ получаем

ответ: $(-3;-2)$ ∪ $(0;1)$

$d)$
$log_{ \frac{1}{3} } (0.1x-5.2)\ \textgreater \ 2$

ОДЗ:
$0.1x-5.2\ \textgreater \ 0$

$0.1x\ \textgreater \ 5.2$

$x\ \textgreater \ 52$

$log_{ \frac{1}{3} } (0.1x-5.2)\ \textgreater \ log_{ \frac{1}{3} } \frac{1}9}$

$0.1x-5.2\ \textless \ \frac{1}9}$

$0.1x\ \textless \ \frac{1}9} +5 \frac{1}{5}$

$0.1x\ \textless \ \frac{5}{45} +5 \frac{9}{45}$

$0.1x\ \textless \ 5 \frac{14}{45}$

$\frac{1}{10} x\ \textless \ \frac{239}{45}$

$x\ \textless \ \frac{239}{45} *10$

$x\ \textless \ 53 \frac{1}{9}$

С учётом ОДЗ получаем

ответ: $(52;53 \frac{1}{9})$